إثبات علاقات بين القطع المستقيمة
انظر إلى مسلمة أطوال القطع المستقيمة 1.8: عندما تضع المسطرة على مستقيم، فإن كل نقطة تقابل عدداً حقيقياً واحداً، تماماً مثلما تقابل النقطة A الصفر والنقطة B العدد 7 على خط الأرقام الظاهر أمامك. الآن انتقل إلى مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة 1.9: إذا كانت النقطة B تقع بين النقطة A والنقطة C على استقامة واحدة، فهذا يعني هندسياً أن طول القطعة الصغرى AB مضافاً إليه طول القطعة الصغرى BC يساوي طول القطعة الكبرى كاملة AC، أي أن التعبير الرياضي هو . هذه المسلمة هي الأساس الذي سنبنيه عليه براهيننا القادمة.
يقوم هذا الدرس على توظيف المسلمات والتعريفات والنظريات الهندسية لكتابة براهين صحيحة تثبت علاقات التطابق أو الطول بين القطع المستقيمة. يعتمد الشرح على مسلّمة أطوال القطع المستقيمة لربط النقاط بأعداد حقيقية، ومسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة التي تنص على أنه إذا كانت النقطة تقع بين و على استقامة واحدة، فإن . كما يستخدم خصائص تطابق القطع المستقيمة مثل الانعكاس والتماثل والتعدي. مثال سريع: إذا كانت القطعة تطابق القطعة والقطعة تطابق القطعة ، فينتج مباشرة من خاصية التعدي أن .
الفكرة الأساسية
يعتمد الدرس على كتابة براهين هندسية منظمة تثبت صحة العلاقات بين أطوال القطع المستقيمة أو تطابقها. يتم الانتقال من الحقائق المعطاة إلى النتائج المطلوبة عبر خطوات منطقية تعتمد على المسلمات والتعريفات وخصائص المساواة والتطابق.
الشرح
تنطلق فكرة قياس القطع المستقيمة من مسلّمة أطوال القطع المستقيمة التي تربط بين النقاط الواقعة على مستقيم وأعداد حقيقية. وعندما تقع نقطة بين نقطتين على استقامة واحدة، تدخل مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة للتعبير عن الأطوال، فإذا كانت النقطة بين و فإن طول القطعة الكلية يساوي مجموع الجزأين، أي والعكس صحيح. أما تطابق القطع المستقيمة فيعني تساوي أطوالها، وتخضع لخصائص التطابق في النظرية وهي: خاصية الانعكاس للتطابق وتكتب على الصورة ، وخاصية التماثل للتطابق وتكتب بالشكل: إذا كان فإن ، وخاصية التعدي للتطابق وتكتب بالشكل: إذا كان و فإن .
مثال محلول خطوة بخطوة
المطلوب إثبات أنه إذا كان و فإن . الخطوة الأولى: كتابة المعطيات وهي و والمبرر هو أنها معطيات. الخطوة الثانية: تحويل التطابق إلى مساواة في الأطوال بتعريف تطابق القطع المستقيمة فيصبح لدينا و . الخطوة الثالثة: تطبيق مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة على الشكل لإنتاج العيارة . الخطوة الرابعة: بالتعويض من الخطوة الثانية في الخطوة الثالثة يتم استبدال بـ و بـ لتصبح العبارة . الخطوة الخامسة: من الشكل نلاحظ أن بحسب مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة. الخطوة السادسة: بالتعويض من الخطوة الرابعة والخامسة ينتج أن . الخطوة السابعة: تحويل المساواة إلى تطابق باستعمال تعريف تطابق القطع المستقيمة فينتج المطلوب .
أخطاء شائعة
الخلط بين رمز التطابق ورمز المساواة عند كتابة العبارات في البرهان، حيث تستعمل مساواة الأطوال مع العمليات الجبرية مثل الجمع والطرح، بينما يستعمل رمز التطابق للقطع المستقيمة ذاتها.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: أكمل البرهان الآتي. المعطيات: . المطلوب: . العبارات والمبررات: أ) (المبرر: معطيات) ب) (المبرر: تعريف تطابق القطع المستقيمة) ج) و (المبرر: مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة) د) (المبرر: بالتعويض) هـ) (المبرر: خاصية الطرح للمساواة) و) (المبرر: بالتبسيط) ز) (المبرر: تعريف تطابق القطع المستقيمة)
السؤال الثاني: صنف العبارة الآتية إلى صحيحة أو خاطئة، وإذا كانت خاطئة فأعط مثالاً مضاداً: إذا كانت النقاط تقع على استقامة واحدة، بحيث تقع بين و ، وتقع بين و ، وتقع بين و ، وكان ، فإن . الإجابة: العبارة صحيحة، ويمكن إثباتها باستعمال مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة والتعويض.