البرهان الجبري

يقوم البرهان الجبري على كتابة سلسلة من العبارات الرياضية لتبرير حل معادلة أو إثبات صحة علاقة، مستعينا بخصائص الأعداد الحقيقية وخصائص المساواة. أهم ما في الدرس هو تنظيم الحل في عمودين، عمود للعبارات وعمود للمبررات، ليكون كل انتقال محسوباً بقاعدة واضحة. فمثلاً، إذا كان لديك المعادلة $-5(x + 4) = 70$ وأردت إثبات أن $x = -18$، فإنك تبدأ بتوزيع العدد $-5$ على القوس مستخدماً خاصية التوزيع لتصبح المعادلة $-5x - 20 = 70$، ثم تضيف العدد $20$ إلى الطرفين مستخدماً خاصية الجمع للمساواة لتصبح $-5x = 90$، وأخيراً تقسم الطرفين على $-5$ لتصل إلى النتيجة النهائية.

الفكرة الأساسية

البرهان الجبري هو سلسلة من العبارات الجبرية المرتبطة التي تُبنى خطوة بخطوة لحل معادلة أو إثبات صحة عبارة، حيث يتم تبرير كل خطوة بقاعدة رياضية واضحة من خصائص الأعداد الحقيقية والمساواة.

الشرح

البرهان ذو العمودين يرتكز على كتابة خطوات الحل في جدول مقسم إلى قسمين: العمود الأيسر للعبارات الرياضية، والعمود الأيمن للمبررات التي تدعم كل عبارة. للتعامل مع المعادلات، تستخدم خصائص المساواة مثل خاصية الجمع، خاصية الطرح، خاصية الضرب، وخاصية القسمة، والتي تنص على أنه إذا أجريت العملية نفسها على طرفي معادلة متساويين يظل الطرفان متساويين. كما تستخدم خصائص الأعداد مثل خاصية التوزيع $a(b + c) = ab + ac$ لفك الأقواس، وخصائص الانعكاس والتماثل والتعدي. في الهندسة، تستخدم خصائص مشابهة لتطابق القطع المستقيمة وتطابق الزوايا.

مثال محلول خطوة بخطوة

أثبت أنه إذا كان $-5(x + 4) = 70$، فإن $x = -18$. اكتب تبريراً لكل خطوة. العبارات:

1. $-5(x + 4) = 70$ المبررات: معطيات العبارات:
2. $-5 imes x + (-5) imes 4 = 70$ المبررات: استعمل خاصية التوزيع العبارات:
3. $-5x - 20 = 70$ المبررات: بسط العبارات:
4. $-5x - 20 + 20 = 70 + 20$ المبررات: استعمل خاصية الجمع للمساواة العبارات:
5. $-5x = 90$ المبررات: بسط العبارات:
6. $\frac{-5x}{-5} = \frac{90}{-5}$ المبررات: استعمل خاصية القسمة للمساواة العبارات:
7. $x = -18$ المبررات: بسط

أخطاء شائعة

تطبيق عمليات حسابية على طرف واحد من المعادلة ونسيان الطرف الآخر، مثل جمع رقم لجهة وترك الجهة الأخرى بدون جمع. تطبيق خاصية التوزيع على الحد الأول داخل القوس ونسيان ضربه في الحد الثاني.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اذكر الخاصية التي تبرر العبارة: إذا كان $x = 5$، فإن $5 = x$. الإجابة: خاصية التماثل للمساواة. السؤال الثاني: أكمل البرهان الآتي لإثبات أن $y = 7$ إذا كانت المعادلة $\frac{y + 2}{3} = 3$: العبارات:

1. $\frac{y + 2}{3} = 3$ المبررات: معطيات العبارات:
2. $3(\frac{y + 2}{3}) = 3(3)$ المبررات: خاصية الضرب للمساواة العبارات:
3. $y + 2 = 9$ المبررات: بسط العبارات:
4. $y = 7$ المبررات: خاصية الطرح للمساواة