المسلمات والبراهين الحرة

يقوم هذا الدرس على مفهوم المسلمات، وهي عبارات تقبل على أنها صحيحة دون برهان، وتستخدم أساساً لبناء البراهين الهندسية وتفسير العلاقات بين النقاط والمستقيمات والمستويات. يدرس الطالب مسلمات النقاط والمستقيمات والمستويات مثل أن كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل، ومسلمات تقاطع المستقيمات والمستويات، وكيفية توظيف هذه المسلمات لتحليل العبارات وصياغة البرهان الحر الذي يعد فقرة تفسر أسباب صحة التخمين خطوة بخطوة. مثال ذلك: إذا كانت النقطة M نقطة منتصف القطعة المستقيمة XY، فإن طول القطعة XM يساوي طول القطعة MY اعتماداً على تعريف نقطة المنتصف.

الفكرة الأساسية

تعتمد الهندسة على حقائق أساسية تسمى المسلمات أو البديهيات، وهي عبارات تُقبل على أنها صحيحة دون الحاجة إلى برهان. نستخدم هذه المسلمات مع القوانين والتعريفات لنبني براهين صحيحة ومنطقية تبرر العلاقات الهندسية بين النقاط والمستقيمات والمستويات.

الشرح

نبدأ بمسلمات النقاط والمستقيمات والمستويات. انظر إلى المسلمة 1.1 التي تنص على أن أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط، والمسلمة 1.2 التي تقرر أن أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط. أما المسلمة 1.3 فتقول إن كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل، والمسلمة 1.4 توضح أن كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة. وإذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم المار بهما يقع كلياً في ذلك المستوى، وهذه هي المسلمة 1.5. ننتقل بعد ذلك إلى مسلمات التقاطع: المسلمة 1.6 تقرر أن تقاطع مستقيمين يكون في نقطة واحدة فقط، بينما المسلمة 1.7 توضح أن تقاطع مستويين يكون مستقيماً. هذه المسلمات تشكل أساس البرهان الحر، وهو كتابة فقرة منطقية تفسر أسباب صحة التخمين في موقف معطى بالاستعانة بالمعطيات والتعريفات والمسلمات.

مثال محلول خطوة بخطوة

المعطيات: M نقطة منتصف $XY$， اكتب برهاناً حراً لإثبات أن $XM \cong MY$. الخطوة 1 و 2: اكتب المعطيات وهي أن M نقطة منتصف $XY$， والمطلوب هو إثبات أن $XM \cong MY$. الخطوة 3 و 4: استعمل تعريف نقطة المنتصف. بما أن M نقطة منتصف $XY$， فإن القطعتين المستقيمتين XM و MY لهما الطول نفسه. ومن تعريف التطابق، إذا كانت القطعتان المستقيمتان لهما الطول نفسه، فتكونان متطابقتين. الخطوة 5: اكتب العبارة التي قامت بالاثبات، وهي لذا $XM \cong MY$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء المتكررة الاعتقاد بأن النقطتين تحددان أكثر من مستقيم، أو نسيان ذكر المسلمة الصحيحة عند تبرير العلاقات بين تقاطع المستقيمات والمستويات. خطأ شائع آخر هو الخلط بين نقطة المنتصف وتطابق القطع المستقيمة دون ذكر التعريف الهندسي بوضوح.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كانت النقطة C تقع على القطعة المستقيمة $AB$， حيث $CB \cong AC$， فاكتب برهاناً حراً لإثبات أن C هي نقطة منتصف $AB$. الإجابة: المعطيات هي أن C تقع على $AB$ وأن $CB \cong AC$. من تعريف التطابق، يكون طول $CB$ مساوياً لطول $AC$. وح بما أن النقطة C تقع على القطعة المستقيمة نفسها وتقسمها إلى قطعتين متطابقتين، فإن C هي نقطة منتصف $AB$ حسب تعريف نقطة المنتصف. السؤال الثاني: اذكر المسلمة التي تبرر العبارة الآتية: المستقيمان s و t يتقاطعان في النقطة P. الإجابة: المسلمة 1.6، والتي تنص على أنه إذا تقاطع مستقيمان، فانهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط.