صفحة ٣٧
انظر إلى أعلى الصفحة لتبدأ درس التبرير الاستنتاجي. الفرق الجوهري بين ما درست سابقاً من تبرير استقرائي وما تتعلمه الآن هو أن الاستقرائي يعتمد على تتبّع الأنماط والملاحظات للوصول إلى تخمين، بينما الاستنتاجي يعتمد على حقائق وقواعد وتعريفات وخصائص للوصول إلى نتائج منطقية أكيدة. في مثال واحد، عندما تستخدم خلطة جاهزة ولاحظت أن القالب الصغير لا يكفي، فهذا تبرير استقرائي لأنك بنيته على ملاحظة سابقة؛ أما عندما يعاقب مشاري لتأخره مرتين استناداً إلى عقد عمله الوظيفي، فهذا تبرير استنتاجي لأنه مبني على حقائق ونظام رسمي. في فقرة تحقق من فهمك رقم 1A، دمج الألوان وتجربتها للوصول إلى درجة الرمادي هو تبرير استقرائي يعتمد على المشاهدة والتجربة. أما في 1B، دعوة خالد إلى حفل عشاء وحضور جميع المدعوين تعني يقيناً أن خالد حضر الحفل، وهذا تبرير استنتاجي مبني على حقيقة وقوع الحدث للجميع. تذكر دائماً أن المثال المضاد يستخدم لإثبات عدم صحة التخمين في التبرير الاستقرائي، ولا يثبت صحته أبداً.
صفحة ٣٨
انظر إلى مفهوم أساسي في أعلى الصفحة والذي يوضح قانون الفصل المنطقي. القاعدة بسيطة: إذا كانت العبارة الشرطية صابئة، والفرض صابئة أيضاً، فإن النتيجة تكون صابئة حتماً. تخيل معي المثال المكتوب: المعطيات تقول إن لم يكن في السيارة وقود فإنها لن تعمل، ولا يوجد وقود في سيارة عبد الله، إذن النتيجة الحتمية والصابئة هي أن سيارة عبد الله لن تعمل. انتقل معي إلى مثال اثنان لتطبيق هذا القانون على الأشكال الهندسية. في الفقرة a، المعطيات تنص على أن إذا كانت الزاويتان متجاورتين على مستقيم فإن ضلعيهما غير المشتركين يكونان نصفي مستقيم متعاكسين، والمعطيات ترسم لك الزاویتين و متجاورتين على مستقيم، إذن الاستنتاج المباشر أن النصفين و متعاكسان لأن شروط الفرض تحققت بالكامل. أما في الفقرة b، عندما تكون المعطيات أن مالك يذهب إلى النادي الرياضي إذا ارتدى ملابس رياضية، وفي المعطاة الثانية ارتدى ملابس رياضية، فالاستنتاج الصحيح هو ذهاب مالك إلى النادي الرياضي. لكن انتبه جيداً للفقرة الثانية من المثال نفسها عندما يُعطى أن مالك ذهب إلى النادي، فهذا يحقق النتيجة ولا يحقق الفرض ، ونتيجة لذلك لا يمكننا الجزم بأنه يرتدي ملابس رياضية، فقد يكون ارتدى زياً آخر، وتكون النتيجة هنا خاطئة.
صفحة ٣٩
انظر إلى مثال ثلاثة وكيف نستعمل أشكال فن للحكم على الاستنتاج واستخدامه كأداة لاختبار الصحة. المعطيات تقول إذا صُرف للموظف مكافأة فإن عدد ساعات عمله تكون قد تجاوزت 175 ساعة في الشهر، والمعطاة الثانية تثبت أن محمد تجاوز 175 ساعة، والاستنتاج يقول إن محمد صُرف له مكافأة. لنتأكد من صحة هذا الكلام، نرسم دائرة تمثل الموظفين الذين تجاوزوا 175 ساعة، ودائرة أخرى للموظفين الذين صُرف لهم مكافأة. بما أن كل من تجاوز 175 ساعة يُصرف له مكافأة، فإن دائرة ساعات العمل تكون محتواة بالكامل داخل دائرة المكافآت. ولكن العكس ليس صحيحاً، فليس كل من أخذ مكافأة يعني بالضرورة أنه تجاوز الساعات، فقد يحصل عليها لأسباب أخرى. لذلك، كون محمد داخل دائرة الساعات لا يضمن بالضرورة وجوده داخل دائرة المكافآت بالمعنى العكسي، والاستنتاج هنا غير صائب. انتقل معي بعدها إلى مفهوم أساسي وقانون القياس المنطقي. هذا القانون يشبه سلسلة توصيل، فإذا كانت لديك العبارتان الشرطيتان و صابئتين، يمكنك حذف الحلقة المشتركة واستنتاج عبارة جديدة مباشرة هي صابئة أيضاً. تذكر دائماً أن شرط تطبيق هذا القانون هو أن تكون نتيجة العبارة الأولى هي نفس فرض العبارة الثانية.
صفحة ٤٠
انظر إلى مثال أربعة الذي يضع بين يديك سؤالاً من اختبار تحصيلي يتطلب تفكيراً دقيقاً. المعطيات تعطيك عبارتين شرطيتين: الأولى إذا أمطرت اليوم فسوف تؤجل المباراة، والثانية إذا اعتذر أحد الفريقين فسوف تؤجل المباراة. والخيارات تحمل عبارات مثل A وB وC، والخيار D يقول لا توجد نتيجة صابئة. لكي نحلل المسألة بالرموز، نفرض أن تعني أمطرت اليوم، و تأجلت المباراة، و اعتذر أحد الفريقين. تصبح العبارة الأولى والثانية . انظر هنا بعين فاحصة: كلتا العبارتين لهما نفس النتيجة وهي تأجلت المباراة، ولكنهما تبدآن بفرضين مختلفين تماماً وهما و. هل يمكنك هنا تطبيق قانون القياس المنطقي؟ الإجابة قطعا لا، لأن نتيجة الأولى لا تمثل فرض الثانية. وبناء على ذلك، فإن العبارات A وB وC ليست صابئة لأن المنطق المستعمل فيها غير صحيح، والاجابة الصحيحة هي D. في مثال خمسة، نطبق قوانين التبرير الاستنتاجي مباشرة على واقعة عددية، فبما أن عمر سلمان 18 عاماً، وقانون التقدم لرخصة القيادة يشترط أن يكون عمرك 18 عاماً، فباستخدام قانون الفصل المنطقي، نستنتج يقيناً أن سلمان يمكنه التقدم لرخصة القيادة لأن الفرض قد تحقق.
صفحة ٤١
انظر إلى صفحة التمارين تأكد لنطبق ما تعلمناه سوياً. في السؤال الأول والثاني من المثال واحد، يطلب منك تحديد ما إذا كانت النتيجة قائمة على التبرير الاستقرائي أم الاستنتاجي. اقرأ بتمعن: في الفقرة واحد، جميع الطلاب الذين تم تكريمهم معدلهم العام يزيد على 95 بالمئة، ومحمد من الطلاب الذين تم تكريمهم، فاستنتج أن معدل محمد يزيد على 95 بالمئة؛ هنا بنينا النتيجة على قاعدة عامة ومطردة للمدرسة، فهو تبرير استنتاجي. أما في الفقرة اثنين، فملاحظة خالد أن جاره يسقي أشجار حديقته كل يوم جمعة واليوم جمعة فاستنتج أن جاره يسقي أشجار حديقته اليوم، فهذا اعتماد على نمط متكرر، وهو تبرير استقرائي. في الأسئلة من ثلاثة إلى ستة، يطلب منك تحديد ما إذا كان الاستنتاج صائباً أم لا مع ذكر التبرير. ففي السؤال ثلاثة، المعطيات تقول إن العدد يقبل القسمة على أربعة إذا كان يقبل القسمة على اثنين، والعدد 12 يقبل القسمة على أربعة، والاستنتاج أن 12 يقبل القسمة على اثنين؛ انتبه هنا، النتيجة تحققت وليس الفرض، والعدد 12 يقبل القسمة على اثنين بالفعل ولكن الاستنتاج هنا اعتمد على اتجاه خاطئ للعبارة الشرطية. في الأسئلة الثامنة والتاسعة، استعمل قانون الفصل أو القياس المنطقي لتحصل على نتيجة صابئة، أو اكتب لا نتيجة صابئة إن تعذر ذلك.
صفحة ٤٢
انظر إلى تدرب وحل المسائل لنواصل تدريب أفكارنا الرياضية. في الأسئلة من 10 إلى 13، عليك تصنيف النتيجة بين تبرير استقرائي وتبرير استنتاجي. تأمل السؤال 10: تنص التعليمات على أن أي تأخير خمس مرات يعطي تنبيهاً، وتأخرت فاطمة خمس مرات فأعطيت تنبيهاً؛ هذا تطبيق مباشر لقاعدة تنظيمية، إذن هو تبرير استنتاجي. وفي السؤال 13، لاحظت علياء أن أخذ دروس تقوية يحسن درجاتها، فأخذت دروس تقوية وافترقت أن درجاتها ستتحسن؛ هذا توقع مبني على ملاحظة وتجارب سابقة، إذن هو تبرير استقرائي. في الأسئلة من 14 إلى 17، حدد ما إذا كان الاستنتاج صائباً اعتماداً على المعطيات وفسر تبريرك مستعيناً بالخصائص الهندسية. مثلاً في السؤال 14، المعطيات تقول إن الزوايا القائمة القائمة متطابقة، والزاويتان 1 و2 قائمتان، والاستنتاج أن الزاوية 1 تطابق الزاوية 2؛ بما أن شروط التطابق تحققت فالاستنتاج صائب تماماً. وفي السؤال 16، إذا كان المعطى أن نصف المستقيم منصف للزاویة ， فالاستنتاج الحتمي هو أن الزاويتين الناتجتين و متطابتان بناء على تعريف منصف الزاوية.
صفحة ٤٣
انظر إلى الصفحة الثالثة والأربعين، ولنبدأ بمسألة الألعاب الأولمبية في السؤال 21. العداء هادي صوعان حقق إنجازاً تاريخياً في سباق 400 متر حواجز، والمعطيات تعطيك عبارتين: الأولى إذا وصل هادي صوعان خط النهاية بعد صاحب المركز الأول فسيحل في المركز الثاني، والثانية إذا حل العداء في المركز الثاني سيحصل على الميدالية الفضية. استعمل قانون القياس المنطقي لتربط بين العبارتين وتحذف الحد المشترك، لتصل إلى نتيجة صابئة جديدة: إذا وصل هادي صوعان خط النهاية بعد صاحب المركز الأول فسيحصل على الميدالية الفضية. في الأسئلة من 25 إلى 27، استخدم قانون الفصل أو القياس المنطقي لتحصل على نتيجة صابئة أو اكتب لا نتيجة صابئة مع التفسير إن تعذر ذلك. انتقل معي إلى مسائل مهارات التفكير العليا، وتحديداً السؤال 28، حيث يطلب منك تفسير لماذا لا يمكن استعمال قانون القياس المنطقي للعبارتين المعطاتين؛ انظر إلى العبارتين وستجد أن نتيجة الأولى لا تطابق فرض الثانية، فهما لا تشكلان سلسلة متصلة. وفي السؤال 29، استخدم الرموز و و لتمثيل كل من قانون الفصل المنطقي وقانون القياس المنطقي بالرموز الرياضية الدقيقة لتثبت فهمك العميق للروابط المنطقية.
صفحة ٤٤
انظر إلى الصفحة الأخيرة من الدرس، وفي قسم تدريب على اختبار، تأمل السؤال 33 الذي يطلب منك تحديد أي العبارات تنتج منطقياً عن العبارات الآتية: إذا اشتريت وجبتين فإنك ستحصل على علبة عصير مجاناً، واشترى خليل وجبتين. استعمل قانون الفصل المنطقي بحذافيره لتجد أن الفرض قد تحقق بالكامل، إذن النتيجة الحتمية هي أن خليل سيحصل على علبة عصير مجاناً، وهي الخيار D. في السؤال 34 المجاور، انظر إلى المستوى الإحداثي والمستقيم المرسوم لتجد ميله بيانيا بالعد من نقطة إلى أخرى على الرسم باستخدام القانون الرأسي على الأفقي. انتقل بعدها إلى قسم مراجعة تراكمية، حيث يعود بك الذاكرة إلى درس عكس العبارة الشرطية في السؤال 35، واستعمال إعلانات صيانة الحاسوب لتحديد الرسالة التي يريد الإعلان إيصالها للناس حول محل النجوم. وفي أسئلة الجبر تحتها، يطلب منك إيجاد قيمة المتغير في كل من الأشكال الثلاثة باستعمال خصائص الزوايا المتجاورة على مستقيم أو الزوايا المتطابقة. وأخيراً، في قسم استعد للدرس اللامحق، انظر إلى الشكل المجاور الذي يوضح مضلعاً وخطوطاً متقاطعة، وحدد بوضوح أي العبارات الأربع من 44 إلى 47 يمكن افتراض صوابها مباشرة من الشكل مثل تعامد المستقيمات أو تساوي قياسات الزوايا مع تبرير إجابتك.
