العبارات الشرطية

العبارة الشرطية هي عبارة يمكن كتابتها على صورة (إذا... فإن...) وتتكون من فرض يرمز له بالحرف $p$ ونتيجة يرمز لها بالحرف $q$، وتكتب رمزياً بالصورة $p \to q$. لمعرفة قيمة الصواب للعبارة الشرطية، تذكر أنها تكون خاطئة في حالة واحدة فقط، وهي عندما يكون الفرض صائباً والنتيجة خاطئة. كما ترتبط بالعبارة الشرطية عبارات أخرى مشتقة منها وهي: العكس بتبديل الفرض والنتيجة، والمعكوس بنفي كليهما، والمعكوس الإيجابي بنفي العكس وتبديله. ومثال ذلك: إذا كان الشكل مربعاً فإنه مستطيل، فالفرض هو (الشكل مربع) والنتيجة هي (الشكل مستطيل).

الفكرة الأساسية

تعتمد العبارة الشرطية على ربط جملة بأخرى بناء على شرط معين، بحيث تظهر دائماً على صورة (إذا كان... فإن...). تعتمد دراسة هذه العبارات على تفكيكها إلى جزأين رئيسيين هما الفرض والنتيجة، ثم دراسة قيم الصواب لها ولعباراتها المرتبطة كالِعكس والمعكوس والمعكوس الإيجابي، وصولاً إلى العبارات الشرطية الثنائية.

الشرح

عندما تنظر إلى أي عبارة شرطية مثل $p \to q$ وتقرأ (إذا كان $p$ فإن $q$) أو ($p$ تؤدي إلى $q$)، فإن الجملة التي تلي كلمة (إذا) مباشرة تسمى الفرض ويرمز لها بالحرف $p$، بينما الجملة التي تلي كلمة (فإن) مباشرة تسمى النتيجة ويررمز لها بالحرف $q$.

لنفترض أن لدينا العبارة: (إذا كان الطقس ماطراً، فسوف أستعمل المظلة). الفرض هنا هو (الطقس ماطر) ونرمز له بـ $p$، والنتيجة هي (سوف أستعمل المظلة) ونرمز لها بـ $q$.

أما عن قيم الصواب للعبارة الشرطية $p \to q$، فإنها تكون صائبة في جميع الحالات عدا حالة واحدة فقط: عندما يكون الفرض $p$ صائباً ($T$) والنتيجة $q$ خاطئة ($F$)، فإن العبارة الشرطية تكون خاطئة ($F$). وإذا كان الفرض خاطئاً، فإن العبارة الشرطية تعتبر صائبة بغض النظر عن قيمة صواب النتيجة.

ترتبط بالعبارة الشرطية الأصلية ثلاث عبارات أخرى مشتقة منها:

1. العكس: ينتج من تبديل الفرض مع النتيجة في العبارة الأصلية، ويكتب رمزياً بالصورة $q \to p$.
2. المعكوس: ينتج من نفي كل من الفرض والنتيجة في العبارة الأصلية، ويكتب رمزياً بالصورة $\sim p \to \sim q$.
3. المعكوس الإيجابي: ينتج من نفي كل من الفرض والنتيجة في عكس العبارة الأصلية، ويكتب رمزياً بالصورة $\sim q \to \sim p$.

تكون العبارة الشرطية ومعكوسها الإيجابي متكافئين منطقياً، أي أن لهما نفس قيم الصواب دائماً. وبالمثل، فإن عكس العبارة ومعكوسها يكونان متكافئين منطقياً أيضاً.

وأما العبارة الشرطية الثنائية، فهي عبارة وصل مكونة من العبارة الشرطية وعكسها معا، وترمز لها بالرمز $p \leftrightarrow q$ وتقرأ ($p$ إذا وفقط إذا كان $q$).

مثال محلول خطوة بخطوة

المطلوب هو تحديد الفرض والنتيجة للعبارة الشرطية الآتية: (إذا كان الشهر القادم هو رمضان، فإن هذا الشهر هو شعبان). الخطوة الأولى: ابحث عن كلمة (إذا) لتحديد الفرض. الجملة التي تليها مباشرة هي (الشهر القادم رمضان). الخطوة الثانية: ابحث عن كلمة (فإن) لتحديد النتيجة. الجملة التي تليها مباشرة هي (هذا الشهر هو شعبان). الخطوة الثالثة: اكتب الإجابة بوضوح: الفرض: الشهر القادم رمضان. النتيجة: هذا الشهر هو شعبان.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن كلمتي (إذا) و(فإن) جزء من الفرض أو النتيجة؛ فهما أداتا ربط فقط ولا تُعدان جزءاً من نص الفرض أو النتيجة.
• الخلط بين قيمة الصواب للعبارة الشرطية عندما يكون الفرض خاطئاً؛ إذ يظن بعض الطلاب أن خطأ الفرض يجعل العبارة خاطئة، والصحيح أن العبارة الشرطية تكون صائبة دائماً إذا كان الفرض خاطئاً بغض النظر عن صحة النتيجة.
• نسيان شرط تكافؤ العبارة الشرطية مع معكوسها الإيجابي، والظن بأن المعكوس العادي يكافئها.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد الفرض والنتيجة في العبارة الشرطية الآتية: (إذا كان لضلع سنة أضلع، فإنه سداسي). الإجابة: الفرض: لضلع سنة أضلع. النتيجة: فإنه سداسي.

السؤال الثاني: اكتب عكس العبارة الشرطية: (إذا كانت $\angle A$ حادة، فإن قياس $\angle A = 35^{\circ}$). ثم حدد ما إذا كان العكس صائباً أم خاطئاً، وإذا كان خاطئاً فأعط مثالاً مضاداً. الإجابة: العكس: إذا كان قياس $\angle A = 35^{\circ}$، فإن $\angle A$ حادة. حكم العكس: صائب، لأن أي زاوية قياسها $35^{\circ}$ تعد زاوية حادة لأن قياسها أكبر من الصفر وأقل من تسعين درجة.