المنطق

يقوم درس المنطق على دراسة العبارات الخبرية وتحديد قيم الصواب لها، إما صائبة T أو خاطئة F. يبدأ الدرس بتعريف العبارة ونفيها الذي يعكس قيمة الصواب باستخدام الرمز ~p، ثم دمج العبارات باستعمال رابط الوصل (و) ويرمز له بـ p ∧ q وتكون صائبة فقط إذا كانت كلتا العبارتين صائبتين، أو رابط الفصل (أو) ويرمز له بـ p ∨ q وتكون خاطئة فقط إذا كانت كلتا العبارتين خاطئتين. بعد ذلك، ينظم الطلاب هذه القيم في جداول الصواب لإنشاء عبارات مركبة أكثر تعقيداً، ويختتم الدرس باستعمال أشكال فن لتمثيل العلاقات بين المجموعات وتقاطعها واتحادها بصرياً. فمثلاً لو كانت p تعبر عن أن المضلع رباعي و q تعبر عن أنه مضلع مهدب، فإن عبارة الوصل p ∧ q تعني أن الشكل رباعي ومحدب معاً.

الفكرة الأساسية

تستند دراسة المنطق إلى تحويل الجمل الخبرية إلى رموز رياضية، وتحديد قيم الصواب لها، وربطها معاً لتكوين عبارات مركبة، ثم تحليلها باستخدام جداول الصواب وأشكال فن.

الشرح

العبارة هي جملة خبرية لها حالتان فقط: إما صائبة ويرمز لها بالحرف T، أو خاطئة ويرمز لها بالحرف F. تسمى هذه الحالة قيمة الصواب للعبارة. لنأخذ عبارة ونرمز لها بالحرف p مثل: المستطيل شكل رباعي، وقيمة صوابها T. نفي العبارة يفيد معنى مضاداً لمعنى العبارة الأصلية، ويرمز له بالرمز ~p وتقرأ ليس p، فإذا كانت p صائبة فإن نفيها ~p يكون خاطئاً F. يمكنك ربط عبارتين أو أكثر باستعمال رابط الوصل (و) لتكوين عبارة مركبة تسمى عبارة وصل، ويرمز لها بالرمز p ∧ q وتقرأ p و q. وتكون عبارة الوصل صائبة فقط عندما تكون جميع العبارات المكونة لها صائبة، وإذا كانت إحداهما خاطئة تصبح العبارة بأكملها خاطئة. أما رابط الفصل (أو) فيرمز له بالرمز p ∨ q وتقرأ p أو q، وتكون عبارة الفصل صائبة إذا كانت إحدى العبارات المكونة لها على الأقل صائبة، وتكون خاطئة فقط إذا كانت جميع العبارات المكونة لها خاطئة. لتنظيم قيم الصواب لهذه العبارات نستخدم جداول الصواب. كما يمكن تمثيل عبارات الوصل والفصل باستخدام أشكال فن؛ حيث يمثل تقاطع مجموعتين عبارة وصل، بينما يمثل اتحاد مجموعتين عبارة فصل.

مثال محلول خطوة بخطوة

أنشئ جدول الصواب للعبارة المركبة ~p ∨ q. الخطوة الأولى: أنشئ عموداً لكل من المتغيرات الأصلية والمشتقة وهي p و q و ~p و ~p ∨ q. الخطوة الثانية: ضع جميع حالات قيم صواب p و q الممكنة في الجدول (T و T، ثم T و F، ثم F و T، ثم F و F). الخطوة الثالثة: استعمل قيم صواب العبارة p لتحديد قيم صواب نفيها ~p، فكل T تصبح F وكل F تصبح T. الخطوة الرابعة: استعمل قيم صواب كل من ~p و q لتحديد قيم صواب عبارة الفصل ~p ∨ q بناءً على القاعدة التي تنص على أن عبارة الفصل تكون خاطئة فقط إذا كانت كلا العبارتين المكونتين لها خاطئتين.

أخطاء شائعة

الاعتقاد بأن عبارة الوصل p ∧ q تصبح صائبة إذا كانت إحدى العبارتين صائبة، والصواب أنها لا تكون صائبة إلا إذا كانت جميع العبارات المكونة لها صائبة معاً. الخلط بين شروط صواب عبارة الوصل وعبارة الفصل؛ فتذكر دائماً أن الوصل شديد يتطلب صواب الجميع، بينما الفصل مرن يكفي فيه صواب واحدة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: استعمل العبارات p و q حيث: p: في الأسبوع الواحد سبعة أيام، q: في اليوم الواحد 20 ساعة. اكتب عبارة الوصل p ∧ q ثم أوجد قيمة الصواب لها مع التبرير. الإجابة: العبارة المركبة هي: في الأسبوع الواحد سبعة أيام وفي اليوم الواحد 20 ساعة. قيمة الصواب هي F؛ لأن العبارة q خاطئة. السؤال الثاني: أنشئ جدول الصواب للعبارة المركبة p ∧ ~q. الإجابة: يتكون الجدول من أربعة أسطر للقيم (T, T) و (T, F) و (F, T) و (F, F)، وتكون قيم الصواب للعبارة p ∧ ~q في الأسطر الأربعة بالترتيب هي: F ثم T ثم F ثم F.