التبرير الاستقرائي والتخمين
ابدأ بقراءة العنوان الرئيسي: التبرير الاستقرائي والتخمين. عندما تنظر إلى حياتك اليومية، فإنك تجمع معلومات ثم تصل إلى استنتاج، وهذا ما نسميه بالتبرير الاستقرائي. تأمل فقرة لماذا: تجد أن دراسة الأسئلة وتحليل الإجابات للوصول إلى نمط معين ينتهي بنتيجة. أما التخمين فهو عبارة توصلت إليها باستخدام التبرير الاستقرائي بعد دراسة نمط معين. انظر الآن إلى مثال 1 قسم a: لدينا مواعيد وصول حافلات: 8:30 صباحا، 9:10 صباحا، 9:50 صباحا، 10:30 صباحا. لاحظ أن الفرق بين كل موعد والذي يسبقه هو 40 دقيقة بالتحديد. لكي نجد الحد التالي، نضيف 40 دقيقة إلى 10:30 صباحا، فيكون الناتج 11:10 صباحا. ننتقل إلى قسم b من المثال نفسه: لدينا أشكال هندسية وعدد قطع مستقيم فيها هو 4، ثم 10، ثم 18، ثم 28، ثم 40. اكتب الفروق بين كل عدد والذي يسبقه: من 4 إلى 10 زدنا 6، ومن 10 إلى 18 زدنا 8، ومن 18 إلى 28 زدنا 10، ومن 28 إلى 40 زدنا 12. لاحظ أن مقدار الزيادة نفسه يزيد بمقدار 2 في كل مرة: 6 ثم 8 ثم 10 ثم 12، إذن الزيادة التالية تكون بمقدار 14. لنجد عدد القطع في الشكل التالي، نضيف 14 إلى العدد الأخير 40، فيكون الناتج 54 قطعة مستقيمة.
يقوم التبرير الاستقرائي على تتبع أمثلة أو أنماط محددة للوصول إلى استنتاج أو قاعدة عامة تسمى تخميناً. انظر إلى مواعيد الحقلات: 8:30 صباحاً، 9:10 صباحاً، 9:50 صباحاً؛ نلاحظ أن الفرق بين كل موعد والذي يسبقه هو 40 دقيقة، إذن بالتبرير الاستقرائي نستنتج أن الموعد التالي سيكون بعد 40 دقيقة ليصبح 10:30 صباحاً. لإثبات صحة التخمين نحتاج إلى برهان، بينما لإثبات خطئه يكفي إيجاد مثال واحد مخالف يسمى مثالاً مضاداً.
الفكرة الأساسية
يعتمد هذا الدرس على استخدام الملاحظة والأمثلة والأنماط للوصول إلى توقعات أو قواعد تسمى تخمينات، وكيفية اختبار هذه التخمينات بالبحث عن أمثلة مضادة لإثبات خطئها.
الشرح
التبرير الاستقرائي هو عملية تفكير تستعمل فيها أمثلة محددة للوصول إلى نتيجة. عندما تلاحظ نمطاً يتكرر في مجموعة أعداد أو أشكال أو مواعيد، فإنك تفترض استمرار هذا النمط على نفس الوتيرة، وتسمى العبارة النهائية التي تصل إليها تخميناً. لمعرفة الحد التالي في أي متتابعة، اختبر العمليات الحسابية الأساسية كالجمع والطرح والضرب والقسمة لاكتشاف القاعدة. وإذا أردت إثبات صحة تخمين ما، فإن الأمثلة المؤيدة وحدها لا تكفي، بل تحتاج إلى براهين، بينما يكفي تقديم مثال واحد معاكس يسمى المثال المضاد لإثبات أن التخمين خاطئ.
مثال محلول خطوة بخطوة
لدينا المتتابعة العددية التالية: 4، 10، 18، 28، 40،..... المطلوب إيجاد الحد التالي. الخطوة 1: ابحث عن نمط بين الأعداد المتتالية. الفرق بين 10 و 4 هو . الفرق بين 18 و 10 هو . الفرق بين 28 و 18 هو . الفرق بين 40 و 28 هو . الخطوة 2: ضع تخميناً. نلاحظ أن مقدار الزيادة يزداد بمقدار ثابت في كل مرة: ، إذن الزيادة التالية ستكون . الخطوة 3: طبق التخمين لإيجاد الحد التالي بإضافة 14 إلى آخر عدد وهو 40 ليصبح الناتج .
أخطاء شائعة
الاعتقاد بأن كثرة الأمثلة المؤيدة للتخمين تعني إثبات صحته قطعاً، والصحيح أن الأمثلة المؤيدة لا تكفي للإثبات بل يلزم تقديم برهان رياضي صحيح، بينما يكفي مثال مضاد واحد لنفي التخمين.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اكتب تخميناً يصف النمط في المتتابعة الآتية، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي: 3، 6، 9، 12، 15،..... الإجابة: النمط هو إضافة 3 في كل مرة، والحد التالي هو . السؤال الثاني: أعط مثالاً مضاداً يبين أن التخمين الآتي خاطئ: "إذا كان عدداً حقيقياً، فإن ". الإجابة: عندما يكون n = rac{1}{2}، فإن rac{1}{2} > ( rac{1}{2})^2 أي rac{1}{2} > rac{1}{4} وهي عبارة خاطئة لأن النصف ليس أكبر من الربع، إذن n = rac{1}{2} مثال مضاد.