5.5 القيمة الحالية لسلسلة من المبالغ (الأقساط السنوية)

عندما ترغب في سحب مبالغ متساوية كل عام لعدة أعوام قادمة، فإنك تحتاج إلى معرفة المبلغ الذي يجب إيداعه اليوم لتغطية تلك السحوبات. الفكرة تقوم على خصم كل دفعة مستقبلية إلى قيمتها الحالية باستخدام معدل العائد، ويتم حساب ذلك مباشرة عبر القانون المخصص للأقساط السنوية دون الحاجة لخصم كل سنة على حدة. على سبيل المثال، لسحب ١٠٠ ريال نهاية كل عام لمدة ٣ سنوات بمعدل عائد ١٠ في المئة، فإن تطبيق القانون $\text{PV} = \text{PMT} \times \frac{1 - \frac{1}{(1 + i)^n}}{i}$ يعطيك القيمة الحالية الإجمالية وهي ٢٤٩ ريالاً.

الفكرة الأساسية

إذا كنت ترغب في سحب مبلغ ثابت كل عام على مدار عدد معين من الأعوام، وتريد معرفة المبلغ الذي يجب إيداعه اليوم في البنك لتحقيق ذلك، فإنك بحاجة إلى حساب القيمة الحالية لسلسلة من المبالغ، وتسمى هذه الدفعات المتساوية بالأقساط السنوية.

الشرح

لكل مبلغ تسحبه في المستقبل قيمة أقل اليوم بسبب مرور الوقت ومعدل العائد. بدلاً من حساب القيمة الحالية لكل سنة منفردة وجمعها، يختصر القانون الرياضي هذه العملية دفعة واحدة.

القانون هو: $\text{PV} = \text{PMT} \times \frac{1 - \frac{1}{(1 + i)^n}}{i}$

حان الوقت لنفهم كل رمز في القانون بوضوح:

• $\text{PV}$ هو القيمة الحالية للأقساط السنوية، وهو المبلغ الذي يجب إيداعه اليوم.
• $\text{PMT}$ هي الدفعات الثابتة أو المبلغ الذي تسحبه كل عام.
• $i$ هو معدل العائد أو نسبة الفائدة السنوية.
• $n$ هو عدد الفترات الزمنية أو عدد سنوات السحب.

مثال محلول خطوة بخطوة

المطلوب حساب القيمة الحالية لمبلغ ١٠٠ ريال يسحب في نهاية الأعوام الثلاثة القادمة مقابل كسب بنسبة ١٠ في المئة.

الخطوة الأولى: حدد معطياتك من السؤال:

• $\text{PMT} = 100$ ريال
• $i = 0.10$
• $n = 3$ سنوات

الخطوة الثانية: اكتب القانون: $\text{PV} = \text{PMT} \times \frac{1 - \frac{1}{(1 + i)^n}}{i}$

الخطوة الثالثة: عوض بالأرقام داخل القانون: $\text{PV} = 100 \times \frac{1 - \frac{1}{(0.10 + 1)^3}}{0.10}$

الخطوة الرابعة: احسب الناتج النهائي لتجد أن القيمة الحالية تساوي ٢٤٩ ريالاً.

أخطاء شائعة

• الخلط بين معدل العائد $i$ بصورته النسبية وصورته العشرية عند التعويض في الحاسبة.
• نسيان طرح النتيجة من الواحد الصحيح في بسط الكسر داخل القانون.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما المبلغ الذي يجب على عمر أن يودعه اليوم إذا أراد أن يجني مبلغ ٤٠٠ ريال سنوياً من حساب استثمار لمدة تسع سنوات مقابل أرباح بمعدل عائد ٨ في المئة سنوياً؟ الإجابة: يتم التعويض في القانون بـ $\text{PMT} = 400$ و $n = 9$ و $i = 0.08$ ليكون الناتج هو القيمة الحالية المطلوبة.

السؤال الثاني: إذا احتاجت سارة إلى سحب مبلغ ٢٥0 ريالاً كل عام لمدة سبع سنوات وكان الحساب يكسب عائداً يبلغ ٧ في المئة، فما المبلغ الذي يجب أن تستثمره اليوم؟ الإجابة: بالتعويض المباشر في القانون عن الدفعات بـ ٢٥٠ والسنوات بـ ٧ ومعدل العائد بـ ۰.۰۷ تنتج القيمة الحالية اللازم إيداعها اليوم.