3.5 القيمة المستقبلية لسلسلة من المبالغ (الأقساط السنوية)
انظر إلى أعلى الصفحة حيث تبدأ دراسة القيمة المستقبلية للأقساط السنوية. عندما تودع مبالغ منتظمة ومتساوية وبمعدل عائد ثابت، فإننا نسمي مجموع قيمها المستقبلية الأقساط السنوية. تأمل القاعدة الحسابية: . هنا الرمز يمثل الدفعات الثابتة التي تودعها بشكل دوري، والرمز هو معدل العائد الذي تكسبه، بينما يعبر عن عدد الفترات الزمنية للاستثمار. تستخدم هذه الفكرة في الحياة اليومية لتخطيط الادخار للأهداف المستقبلية، مثل ادخار طالب أو شاب لمبلغ محدد كل عام، أو تخصيص مبلغ لبدء مشروع صغير خلال أربع سنوات، أو إنشاء صندوق تجاري لتوسيع العمل في المستقبل. لاحظ في الصورة أسفل الصفحة ذلك الشخص الذي ينظر إلى الرسوم البيانية الاستثمارية، وهو ما يربط الأرقام بالواقع العملي.
يقوم الأفراد أحياناً بإيداع مبالغ مالية بشكل منتظم وثابت في خطط ادخارية أو استثمارية، وهو ما يُعرف بالأقساط السنوية. لحساب كم ستصبح هذه المبالغ مجتمعة في المستقبل بعد إضافة العائد الثابت عليها، نستخدم قانون القيمة المستقبلية للسلسلة. فمثلاً لو أودعت مئة ريال في نهاية كل عام لمدة ثلاثة أعوام بعائد عشرة بالمئة، فإن المبالغ تنمو بمرور الزمن ليصبح إجمالي المبلغ المستقبلي ثلاثمئة واحداً وثلاثين ريالاً. تعتمد هذه الحسابات على فرضية تساوي الدفعات وثبات معدل العائد ووقوع الدفعات في نهاية كل فترة زمنية.
الفكرة الأساسية
لو أودعت مبالغ متساوية كل عام في حساب استثماري، فلن يكون المبلغ مجرد جمعها العادي، بل سيكسب كل مبلغ عائداً إضافياً مع مرور الوقت. هذه العملية تُسمى حساب القيمة المستقبلية للأقساط السنوية.
الشرح
حين تودع مبالغ متساوية بانتظام، فإنك تتعامل مع سلسلة من المدفوعات المتساوية بمعدل عائد ثابت. نحسب القيمة المستقبلية لهذه السلسلة باستخدام القانون التالي: حيث يعبر الرمز عن القيمة المستقبلية للأقساط السنوية، ويرمز إلى الدفعات الثابتة المتساوية، ويمثل الحرف معدل العائد، بينما يرمز الحرف إلى عدد الفترات الزمنية. تقوم هذه المعادلة على ثلاث فرضيات رئيسية: أولاً، أن تكون الدفعات متساوية. ثانياً، أن يكون معدل العائد ثابتاً خلال الفترة الزمنية. ثالثاً، أن تتم الدفعات في نهاية كل فترة زمنية.
مثال محلول خطوة بخطوة
لو كانت لديك ودائع بقيمة مئة ريال أودعت في نهاية كل عام من الأعوام الثلاثة القادمة، وكتبت عائدًا نسبته عشرة بالمئة سنويًا. يمكنك حساب القيمة المستقبلية لكل وديعة على حدة، فالوديعة الأولى تكسب عائداً لمدة عامين، والوديعة الثانية لمدة عام، والوديعة الثالثة لا تكسب عائداً لأنها في نهاية المدة. أو تستخدم القانون مباشرة بتعويض القيم: المبلغ الثابت مئة ريال، ومعدل العائد عشرة بالمئة، وعدد السنوات ثلاث سنوات. بتطبيق المعادلة تحصل على: ليكون الناتج الإجمالي ثلاثمئة واحداً وثلاثين ريالاً.
أخطاء شائعة
من الخطأ الاعتقاد أن القيمة المستقبلية لسلسلة مبالغ تساوي مجرد جمع المبالغ من دون حساب العائد التراكمي لكل دفعة. ومن الخطأ أيضاً الخلط بين توقيت الدفعات في نهاية الفترة أو بدايتها، أو استخدام معدل عائد غير ثابت خلال الفترات الزمنية.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: ما المبلغ الذي ستحصل عليه سارة خلال خمسة أعوام إذا استثمرت ألف ومئتي ريال كل عام بمعدل عائد ثلاثة بالمئة؟ الإجابة: يتم تطبيق المعادلة بوضع الألف والمئتي ريال مكاناً للدفعة الثابتة، وخمسة أعوام مكاناً لعدد الفترات، وثلاثة بالمئة مكاناً لمعدل العائد. السؤال الثاني: يودع علي ثلاث ودائع سنوية بقيمة خمسمئة ريال، ويكتسب من كل منها عائدًا نسبته خمسة بالمئة. ما القيمة المستقبلية للاستثمار؟ الإجابة: تحسب بالقانون بتعويض خمسمئة ريال للدفعة الثابتة، وثلاث سنوات لعدد الفترات، وخمسة بالمئة لمعدل العائد.