التباديل والتوافيق

يقوم درس التباديل والتوافيق على حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار وترتيب عناصر من مجموعة. الفرق الأساسي بينهما هو أن التباديل تهتم بترتيب عناصر الاختيار، بينما التوافيق لا تهتم بالترتيب أبداً. فإذا أردنا اختيار رئيس ونائب من بين خمسة أشخاص، فالترتيب مهم ونستخدم التباديل ${}_{5}ل_{2}$. أما إذا أردنا اختيار لجنة من شخصين من نفس المجموعة دون مناصب، فالترتيب غير مهم ونستخدم التوافيق ${}_{5}ق_{2}$ بقسمة التباديل على مضروب عدد عناصر الاختيار. ويعتمد الحساب على مبدأ العد الأساسي ومفهوم المضروب، ويُستعمل أحياناً لإيجاد الاحتمالات كما في سحب الأوراق أو اختيار الرموز.

الفكرة الأساسية

عندما تريد اختيار مجموعة من الأشياء أو العناصر، فهناك حالتان: إما أن يكون ترتيب هذا الاختيار مهمأ مثل المناصب والترتيب التسلسلي، وهنا نستخدم التباديل. وإما ألا يكون الترتيب مهماً مثل تشكيل اللجان والمجموعات المتساوية، وهنا نستخدم التوافيق.

الشرح

التبديل هو ترتيب مجموعة من العناصر حيث يكون ترتيبها مهمأ، ونحسب عدد التباديل لعناصر عددها $ن$ مأخوذة $ر$ في كل مرة بالقانون: {}_{ن}ل_{ر} = rac{ن!}{(ن - ر)!}. ومضروب العدد $ن$ الذي يُكتب بصيغة $ن!$ هو ناتج ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن أو تساوي $ن$. أما التوافيق فهي طريقة لاختيار عناصر من مجموعة دون الاهتمام بالترتيب. وبما أن الترتيب غير مهم في التوافيق، فإننا نقسم عدد التباديل على مضروب عناصر الاختيار لنحذف الترتيب المتكرر، ويصبح القانون: {}_{ن}ق_{ر} = rac{ن!}{(ن - ر)! ر!}.

مثال محلول خطوة بخطوة

أراد أمين المكتبة أن يعرض $6$ مجلات من بين $10$ مجلات مختلفة على رف. فبكم طريقة يمكنه ذلك؟ الخطوة الأولى: نحدد هل الترتيب مهم أم لا؟ عرض المجلات على الرف بترتيبات مختلفة يغير شكل العرض، إذن الترتيب مهم ونستخدم قانون التباديل ${}_{ن}ل_{ر}$. الخطوة الثانية: نحدد قيم المتغيرات بناء على المسألة، حيث $ن = 10$ وهو العدد الكلي، و $ر = 6$ وهو عدد المجلات المختارة. الخطوة الثالثة: نطبق القانون {}_{10}ل_{6} = rac{10!}{(10 - 6)!}. الخطوة الرابعة: نبسط العبارة لتصبح rac{10!}{4!}. الخطوة الخامسة: نفك المضروب ونختصر العوامل المشتركة حتى نحصل على الناتج النهائي $151200$ طريقاً.

أخطاء شائعة

• الخلط بين التباديل والتوافيق وعدم الانتباه لمسألة هل الترتيب مهم أم لا في السياق.
• نسيان فك المضروب بالشكل الصحيح أو عدم تبسيط العوامل المشتركة في البسط والمقام.
• الخطأ في كتابة قيمة $ر$ أو $ن$ عند تطبيق القانون.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: بكم طريقة يمكن لستة طلاب الوقوف في صف واحد لالتقاط صورة تذكارية؟ الإجابة: بما أن الترتيب مهم في الوقوف بالصف، نستخدم مضروب الستة $6! = 720$ طريقة. السؤال الثاني: أوجد قيمة ${}_{5}ق_{2}$. الإجابة: نطبق قانون التوافيق {}_{5}ق_{2} = rac{5!}{(5 - 2)! 2!} = rac{5 imes 4}{2 imes 1} = 10.