احتمالات الحوادث المركبة
انظر إلى المثال في أعلى الصفحة. عندما ترغب في السفر بالطائرة، وتعرف أن نسبة وصول الطائرات في موعدها هي اثنان وتسعون بالمئة، ونسبة عدم فقدان الأمتعة هي تسعة وتسعون بالمئة، وتريد حساب احتمال حدوث الأمرين معاً، فهذا ما نسميه الحوادث المركبة. الحادثة المستقلة تعني أن وقوع إحداهما لا يؤثر أبداً في نتيجة الأخرى. تملأ الصفحة مفاهيم أساسية وقوانين لحساب احتمال الحوادث المستقلة بضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة الثانية كما ترى في القاعدة . انظر إلى مثال الكرات الزجاجية أسفل الصفحة؛ إذا سحبت كرة ثم أعدتها إلى الكيس، يبقى إجمالي الكرات ثابتاً وتظل الحادثتان مستقلتين.
يقوم درس احتمالات الحوادث المركبة على حساب احتمال وقوع حدثين أو أكثر معا أو أحدهما أو الآخر. الفكرة الأساسية تعتمد على نوع الحوادث؛ فالحوادث المستقيلة نضرب احتمالاتها لأن وقوع إحداها لا يؤثر في الأخرى، مثل سحب كرة وإرجاعها ثم سحب أخرى. أما الحوادث غير المستقيلة فنضرب الاحتمال الثاني بعد نقص العدد الكلي لأن السحب يتم من دون إرجاع. وبالنسبة للحوادث المتنافية التي لا يمكن وقوعها معا فنجمع احتمالاتها، بينما الحوادث غير المتنافية التي يمكن أن تقع معا فنجمع احتمالاتها ثم نطرح احتمال تقاطعها لتجنب التكرار. مثال سريع: عند سحب كرة حمراء من صندوق ثم سحب كرة زرقاء من دون إرجاع، نضرب احتمال سحب الحمراء في احتمال سحب الزرقاء بعد نقص إحدى الكرات من المجموع الكلي للحصول على الاحتمال المركب بدقة.
الفكرة الأساسية
تتكون الحادثة المركبة من حادثتين بسييطتين أو أكثر. يعتمد حساب احتمالها على نوع العلاقة بين هذه الحوادث؛ هل هي مستقلة أو غير مستقلة، أو هل هي متنافية أو غير متنافية.
الشرح
إذا كانت الحادثتان مستقلتين، فإن وقوع إحداهما لا يؤثر في نتيجة الأخرى، ونحسب احتمال وقوعهما معا بضرب احتمال الأولى في احتمال الثانية: . أما إذا كانت الحادثتان غير مستقلتين، فإن وقوع الأولى يؤثر في احتمال وقوع الثانية، ولحساب احتمال وقوعهما معا نضرب احتمال الأولى في احتمال وقوع الثانية بعد وقوع الأولى: . عندما نريد حساب احتمال وقوع حادثة أو حادثة أخرى، فإننا ننظر إن كانت متنافية أم لا؛ فالحوادث المتنافية لا يمكن وقوعها معا في الوقت نفسه، ونجد احتمال وقوع أ أو ب بجمع احتماليهما: . وأما الحوادث غير المتنافية فيمكن وقوعها معا، ونحسب احتمال وقوع أ أو ب بجمع احتماليهما ثم طرح احتمال وقوعهما معا لكي لا نحسب التقاطع مرتين: .
مثال محلول خطوة بخطوة
يحتوي صندوق على 10 بطاقات حمراء و 10 صفراء و 10 بيضاء و 10 زرقاء مرقمة من 1 إلى 10. سحب عبد الكريم ثلاث بطاقات عشوائيا واحدة تلو الأخرى من دون إرجاع. ما احتمال أن تكون البطاقات المسحوبة بالترتيب: حمراء، بيضاء، حمراء؟ الخطوة الأولى: نجد احتمال سحب البطاقة الأولى حمراء. عدد البطاقات الحمراء 10 من إجمالي 40 بطاقة، إذن ح ( ext{حمراء}) = rac{10}{40} = rac{1}{4}. الخطوة الثانية: نجد احتمال سحب البطاقة الثانية بيضاء من دون إرجاع. بقي في الصندوق 39 بطاقة، وعدد البطاقات البيضاء 10، إذن ح ( ext{بيضاء}) = rac{10}{39}. الخطوة الثالثة: نجد احتمال سحب البطاقة الثالثة حمراء من دون إرجاع. بقي في الصندوق 38 بطاقة، وبقي من البطاقات الحمراء 9، إذن ح ( ext{حمراء}) = rac{9}{38}. الخطوة الرابعة: نضرب الاحتمالات الثلاثة معا: rac{1}{4} imes rac{10}{39} imes rac{9}{38} = rac{90}{59280} = rac{15}{988} أو ما يعادل تقريبا.
أخطاء شائعة
نسيان طرح احتمال التقاطع عند حساب احتمال الحوادث غير المتنافية مما يؤدي إلى ناتج خاطئ يزيد عن القيمة الصحيحة. وأيضا عدم تعديل العدد الكلي في المقام عند السحب من دون إرجاع في الحوادث غير المستقيلة.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: يحتوي كيس على 6 كرات سوداء و 9 زرقاء و 4 صفراء وكرتين خضراوين. سحبت منه كرة عشوائيا ثم أُعيدت وسحبت كرة ثانية. ما احتمال سحب كرة سوداء ثم كرة صفراء؟ الإجابة: الاحتمال يساوي rac{6}{21} imes rac{4}{21} = rac{24}{441} أو ما يعادل تقريبا. السؤال الثاني: عند رمي مكعب أرقام مرقم من 1 إلى 6، ما احتمال ظهور الرقم 3 أو الرقم 5؟ الإجابة: الحادثتان متنافيتان، إذن نجمع الاحتمالين: rac{1}{6} + rac{1}{6} = rac{2}{6} = rac{1}{3} أو ما يعادل تقريبا.