إحصائيات العينة ومعالم المجتمع

يقوم الدرس على تقدير خصائص المجتمع الكبير بالاعتماد على عينة عشوائية منه، باستخدام ما يسمى الإحصاء الاستدلالي. إحصائي العينة يصف خصائص العينة، بينما مَعْلَمة المجتمع تصف المجتمع كاملاً. كما يتناول الدرس مقاييس التشتت التي توضح مدى انتشار البيانات وتباعدها، مثل المدى والربيعات والانحراف المتوسط والانحراف المعياري والتباين. فلو أردنا معرفة متوسط أطوال جميع طلاب المدرسة، يمكننا سحب عينة عشوائية من مئة طالب وحساب متوسط أطوالهم لنستدل به على متوسط المجتمع.

الفكرة الأساسية

الفكرة الأساسية تقوم على استخدام إحصائيات عينة عشوائية لتقدير معالم المجتمع الكلي باستخدام ما يسمى الإحصاء الاستدلالي، مع حساب مقاييس التشتت لمعرفة مدى انتشار البيانات.

الشرح

عندما نريد دراسة مجتمع كبير، نصعب دراسة كل فرد فيه، فنختار عينة عشوائية ممثلة. إحصائي العينة هو مقياس يصف إحدى خصائص العينة، بينما مَعْلَمة المجتمع تصف خصائص المجتمع كاملاً وثابتة غالباً. ولتحديد مدى تباعد البيانات وانتشارها عن المتوسط الحسابي، نستعمل مقاييس التشتت. المدى هو الفرق بين أكبر وأصغر قيمة. الانحراف المتوسط هو متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي. الانحراف المعياري هو القيمة التي تدل على مدى تباعد قيم مجموعة البيانات عن متوسطها الحسابي، ويرمز إليه بالرمز $ع$. أما التباين فهو مربع الانحراف المعياري لنفس البيانات، ويرمز إليه بالرمز $ع^2$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري للأعداد: $٣، ٦، ١١، ١٢، ١٣$. الخطوة الأولى لإيجاد المتوسط الحسابي $\overline{س}$: نجمع قيم البيانات ثم نقسمها على عددها، فيكون المجموع $٤٥$ مقسوماً على $٥$ ليساوي $٩$. الخطوة الثانية لإيجاد التباين $ع^2$: نوجد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي، ثم نجمع هذه المربعات، ونقسم المجموع على عدد القيم، ويكون الناتج تفصيلياً كالتالي: مربع $(٣ - ٩)$ زائد مربع $(٦ - ٩)$ زائد مربع $(١١ - ٩)$ زائد مربع $(١٢ - ٩)$ زائد مربع $(١٣ - ٩)$ الكل مقسوم على $٥$ ليساوي $\frac{٧٤}{٥}$. الخطوة الثالثة: الانحراف المعياري $ع$ يساوي الجذر التربيعي للتباين، أي الجذر التربيعي للقيمة $\frac{٧٤}{٥}$ والذي يساوي تقريبا $٣,٨$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء الشائعة نسيان تربيع فروق القيم عن المتوسط الحسابي عند حساب التباين، أو نسيان أخذ الجذر التربيعي للتباين في الخطوة الأخيرة عند إيجاد الانحراف المعياري. ومن الأخطاء أيضاً الخلط بين إحصائي العينة ومَعْلَمة المجتمع.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد الانحراف المتوسط لمجموعة البيانات: $٢، ٢، ٣، ٤، ١٤$. الإجابة: المتوسط الحسابي يساوي $٥$، ومجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط هو $١٨$، وبقسمة $١٨$ على عدد القيم $٥$ يكون الناتج $٣,٦$. السؤال الثاني: عيّن العينة والمجتمع في الموقف التالي: اختيرت عينة عشوائية من الممرضين العاملين في جميع مستشفيات المناطق الشرقية والغربية والوسطى، ثم حُسِب متوسط رواتب هؤلاء الممرضين. الإجابة: العينة هي الممرضين الذين تم اختيارهم عشوائياً من جميع مستشفيات المناطق الثلاث، والمجتمع هو جميع الممرضين العاملين في هذه المستشفيات في المناطق الثلاث.