صفحة ١٧٥
انظر إلى المثلث القائم في الأعلى؛ حساب المثلثات هو دراسة العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه. والنسبة المثلثية تقارن بين طولي ضلعين من أضلاع المثلث القائم. لدينا ثلاث نسب أساسية: الجيب ويرمز له بـ جا، وجيب التمام ويرمز له بـ جتا، والظل ويرمز له بـ ظا. انظر إلى الجدول لتتعرف على القوانين: جيب الزاوية أ يساوي طول الضلع المقابل للزاوية أ مقسوماً على الوتر، أي . وجيب تمام الزاوية أ يساوي طول الضلع المجاور للزاوية أ مقسوماً على الوتر، أي . وظل الزاوية أ يساوي طول الضلع المقابل مقسوماً على الضلع المجاور، أي . في المثال الأول، لإيجاد قيم النسب المثلثية للزاوية أ في مثلث أطوال أضلاعه مجهولة، نستعمل أولاً نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع الثالث، ثم نكتب النسب المثلثية بتعويض الأطوال في القوانين.
صفحة ١٧٦
استعمال الحاسبة يسهل إيجاد قيم العبارات المثلثية. تأكد أولاً أن آلتك الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات. لإيجاد جتا 42 درجة، اضغط على زر cos ثم اكتب 42 ثم اضغط على مفتاح enter لظهر لك الناتج مقرباً إلى أقرب جزء من ألف. وفي مثال حل المثلث، عندما يُطلب منك حل مثلث قائم الزاوية، فهذا يعني أنك تجد جميع القياسات المجهولة لأضلاعه وزواياه. انظر إلى الشكل: لمعرفة قياس الزاوية المجهولة د، اطرح مجموع الزاويتين المعلومتين من 180 درجة. ولإيجاد أطوال الأضلاع المجهولة، استعمل نسب الجيب أو الظل بحسب المعطيات في المثلث وقارنها بالأضلاع المقابلة والمجاورة والوتر.
صفحة ١٧٧
في تطبيقات من واقع الحياة، مثل تمرين جهاز التمارين الرياضية، يمكنك إيجاد طول الضلع المجهول باستعمال النسب المثلثية. انظر إلى الشكل، الجهاز يصنع زاوية قياسها 10 درجات وارتفاعه 2 متر، ولإيجاد طول سطح السير هـ، استعمل نسبة الجيب: جا 10 درجات يساوي الضلع المقابل هـ مقسوماً على الوتر 2، أي . اضرب طرفي المعادلة في 2 ثم استعمل الحاسبة لتجد الناتج. وأما لمعرفة قياس الزاوية المجهولة إذا عُرفت أطوال أضلاع المثلث، فنحتاج إلى معكوس الدوال المثلثية. انظر إلى مفهوم أساسي: إذا كانت جتا أ يساوي س، فإن معكوس جيب التمام يكتب هكذا: أ يساوي جتا سالب واحد لـ س.
صفحة ١٧٨
هذه صفحة تمارين وتدريبات على ما درسناه في الدرس. في التمارين من 1 إلى 3، المطلوب منك إيجاد قيم النسب المثلثية الثلاث لكل زاوية في المثلثات المرسومة، أو استعمال الحاسبة لإيجاد قيمة كل نسبة مثلثية مقربة إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. وفي التمارين من 8 إلى 10، عليك حل كل مثلث قائم الزاوية بتقريب طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة، وذلك باستعمال النسب المثلثية ونظرية فيثاغورس. وفي التمرين 11، اقرأ مسألة التزلج على الجليد جيداً وحدد المقابل والمجاور والوتر بحسب زاوية الميل المعطاة لتقدير طول الضلع المطلوب.
صفحة ١٧٩
نتابع هنا حل مزيد من المسائل والتدريبات على النسب المثلثية ومعكوساتها. في التمارين من 26 إلى 28، المطلوب حل مثلث قائم بمعرفة قياس زاوية وأحد الأضلاع. وفي المسألة 29 عن السلم الكهربائي، تخيل المثلث القائم الذي يصنعه السلم مع الأرض وارتفاعه 35 متراً والزاوية 29 درجة، واستعمل النسب المثلثية المناسبة لإيجاد ارتفاع السلم. وفي التمارين من 30 إلى 32، استخدم معكوس الجيب أو جيب التمام أو الظل لإيجاد قياس الزاوية مجهولة القياس في كل مثلث قائم عندما يُعطى لك طولا ضلعين فيه.
صفحة ١٨٠
هذه صفحة مسائل مهارات التفكير العليا وتدريبات على الاختبار. في سؤال التحدي رقم 39، انظر إلى الشكل وتأمل الزوايا والأضلاع المرتبطة ببعضها لتتمكن من حل المثلث المطلوب. وفي مسألة التبرير رقم 42، فكر: إذا كان جيب زاوية يساوي جيب تمامها تماماً، فماذا يمكنك أن تستنتج عن قياسات زوايا ذلك المثلث؟ أما في قسم تدريب على الاختبار، فاقرأ المتباينة في السؤال 44 أو مسألة المبيعات والراتب الشهري في السؤال 45 بعناية، ثم اختر الإرمز الصحيح من الخيارات الأربعة المتاحة بعد إجراء الحسابات اللازمة.
صفحة ١٨١
هذه صفحة اختبار الفصل لتختبر فهمك لما تعلمته في الفصل التاسع. في السؤال الأول، بسط عبارات الجذور التربيعية. وفي سؤال خدمة التوصيل رقم 15، تخيل المسار على شكل إحداثيات أو مثلث قائم، واستعمل قانون المسافة أو النسب المثلثية لتحديد إن كان الموقع خارج نطاق الخدمة المجانية أم لا. وفي السؤال 16، انظر إلى المثلثين المتشابهين واستعمل تناسب أطوال الأضلاع لإيجاد الأضلاع المجهولة. وفي السؤال 17، استعمل معادلة حجم الأسطوانة المعطاة مع التعويض بالقيمة لإيجاد نصف القطر بدقة.
صفحة ١٨٢
هذه صفحة الاختبار التراكمي بصيغة الاختيار من متعدد لتراجع ما درسناه سابقاً. في السؤال الأول، بسط العبارة الجبرية الكسرية بانتباه لإشارات الضرب والقسمة وجمع الحدود المتشابهة في البسط والمقام. وفي السؤال الثاني، انظر إلى أطوال أضلاع المثلث القائمة في الشكل المرفق واحسب المساحة بضرب طول القاعدة في الارتفاع والقسمة على اثنين. وفي السؤال الثالث، طبق قانون طول راسَم المخروط المعطى في الإرشادات: ربع يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع ع ومربع نق، وعوض بالأرقام لتجد القيمة المطلوبة.
صفحة ١٨٣
هذه صفحة أسئلة الإجابة القصيرة والمطولة في الاختبار التراكمي. في السؤال رقم 6، انظر إلى التمثيل البياني للدالة الموضحة وحدد عدد المرات التي تقاطع فيها منحنى الدالة مع محور السينات. وفي السؤال رقم 7، طُلب منك تحليل كثيرات الحدود تحليلاً تاماً، فابحث عن العامل المشترك الأكبر أو استعمل طرق التجميع والتحليل المعتادة. وفي السؤال رقم 10، حلل ثلاثية الحدود المعطاة إلى عواملها الأولية. تذكر دائماً توضيح خطوات الحل بالتفصيل ولا تكتب الناتج النهائي فقط.
صفحة ١٨٤
صورة قطار الحرمين السريع في مشروع يربط بين مكة المكرمة والمدينة المنورة، وهي صفحة افتتاحية للفصل العاشر عن الإحصاء والاحتمال.
صفحة ١٨٥
هذه صفحة التهيئة للفصل العاشر. في قسم الاختبار السريع، راجع المهارات السابقة مثل حساب الاحتمالات عند اختيار مكعب عشوائياً من كيس يحوي ألواناً مختلفة. انظر إلى المثال الأول: إذا كان في الكيس 6 مكعبات حمراء و4 صفراء ومكعب واحد أخضر، فما احتمال اختيار مكعب أخضر؟ عدد المكعبات الخضراء هو 1، والعدد الكلي للمكعبات هو 11، إذن الاحتمال هو الكسر 1 على 11. وفي المثال الثاني، تذكر كيف تضرب الكسور الاعتيادية بضرب البسط في البسط والمقام في المقام وتبسيط الناتج إلى أبسط صورة. وفي المثال الثالث، تعلم كيفية تحويل الكسر إلى نسبة موية بضرب الكسر العشري في 100.
