المثلثات المتشابهة

المثلثات المتشابهة هي مثلثات لها الشكل نفسه وليست بالضرورة بالضرورة بنفس الحجم. يقوم تشابه المثلثات على شرطين أساسيين هما تساوي قياسات الزوايا المتناظرة وتناسب قياسات الأضلاع المتناظرة. نستخدم رمز التشابه $\sim$ للدلالة على أن المثلثين متشابهان، وعند كتابة رؤوس المثلثين المتشابهين يجب ترتيبها بالدلالة على الأجزاء المتناظرة. من خلال معرفة تشابه مثلثين وتوفر بعض الأطوال أو الزوايا يمكننا إيجاد العناصر المجهولة عبر كتابة تناسب بين الأضلاع وحله بالطرق الجبرية مثل الضرب التبادلي، وهو ما ينفعنا في حساب القياسات غير المباشرة مثل ارتفاع سارية علم بطريقة مقارنة الأطوال بالظلال.

الفكرة الأساسية

المثلثات المتشابهة هي مثلثات لها الشكل نفسه وليست بالضرورة بالضرورة بنفس الحجم. إذا تشابه مثلثان، فإن قياسات زواياهما المتناظرة متساوية، وقياسات أضلاعهما المتناظرة متناسبة.

الشرح

نستعمل الرمز $\sim$ لكي نشير إلى أن مثلثين متشابهان. عند كتابة رؤوس المثلثات المتشابهة، نحرص دائماً على ترتيبها بدقة للدلالة على الأجزاء المتناظرة. لنفترض أن لدينا المثلث أ ب ج يشابه المثلث د هـ و، فهذا يعني أن زاوية أ تطابق زاوية د، وزاوية ب تطابق زاوية هـ، وزاوية ج تطابق زاوية و. كما تعني تناسب الأضلاع أن النسبة بين طول الضلع أ ب إلى طول الضلع د هـ تساوي النسبة بين طول الضلع ب ج إلى طول الضلع هـ و، وتساوي النسبة بين طول الضلع أ ج إلى طول الضلع د و. يمكننا تحديد ما إذا كان مثلثان متشابهين إما بمقارنة قياسات الزوايا المتناظرة أو بمقارنة نسب أطوال الأضلاع المتناظرة. وعندما نتأكد من تشابه مثلثين وتكون بعض أطوال أضلاعهما معلومة ومعها ضلع مجهول، نستعمل التناسب لإيجاد قياس العنصر المجهول.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قياسات العناصر المجهولة في المثلثين المتشابهين حيث يكون المثلث أ ب ج يشابه المثلث ك ل ر، وفيه أ ب = س، أ ج = $\text{١٢,٥}$، ب ج = $\text{٥}$، ك ل = $\text{٨}$، ك ر = $\text{٥}$. الخطوة الأولى: نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة للمثلثين المتشابهين كالتالي: $\frac{\text{أ ب}}{\text{ك ل}} = \frac{\text{أ ج}}{\text{ك ر}} = \frac{\text{ب ج}}{\text{ك ر}}$ لكن هنا نأخذ النسبة التي تحتوي على المجهول س مع نسبة معلومة بالكامل: $\frac{\text{أ ب}}{\text{ك ل}} = \frac{\text{أ ج}}{\text{ك ر}}$ الخطوة الثانية: نعوض بالأرقام المعطاة: $\frac{\text{س}}{\text{٨}} = \frac{\text{١٢,٥}}{\text{٥}}$ الخطوة الثالثة: نضرب تبادلياً: $\text{٥ س} = \text{٨} \times \text{١٢,٥}$ $\text{٥ س} = \text{١٠٠}$ الخطوة الرابعة: نقسم الطرفين على $\text{٥}$: $\text{س} = \frac{\text{١٠٠}}{\text{٥}} = \text{٢٠}$ إذن قياس العنصر المجهول س هو $\text{٢٠}$.

أخطاء شائعة

• عدم ترتيب رؤوس المثلثات المتشابهة بالترتيب الصحيح المتوافق مع الأجزاء المتناظرة.
• الخلط بين مقارنة الزوايا ومقارنة الأضلاع عند إثبات التشابه.
• الخطأ في كتابة نسبة التناسب أو في إجراء الضرب التبادلي لحل المعادلة الناتجة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد ما إذا كان المثلث أ ب ج الذي فيه قياس زاوية أ = $\text{٦٨}^\circ$، وقياس زاوية ب = قياس زاوية ج يشابه المثلث د هـ ف حيث قياس زاوية د هـ = قياس زاوية د ف = $\text{٥٤}^\circ$، وبرر إجابتك. الإجابة: أولاً نجد قياسات زوايا المثلث أ ب ج بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي $\text{١٨٠}^\circ$ وبما أن قياس زاوية ب يساوي قياس زاوية ج، إذن قياس زاوية ب = $\frac{\text{١٨٠} - \text{٦٨}}{\text{٢}} = \frac{\text{١١٢}}{\text{٢}} = \text{٥٦}^\circ$. وفي المثلث د هـ ف بما أن قياس زاوية هـ يساوي قياس زاوية ف ويساوي $\text{٥٤}^\circ$، إذن قياس زاوية د = $\text{١٨٠} - (\text{٥٤} + \text{٥٤}) = \text{٧٢}^\circ$. وبما أن قياسات زوايا المثلث الأول لا تساوى قياسات زوايا المثلث الثاني المتناظرة (فمثلاً زاوية أ قياسها $\text{٦٨}^\circ$ بينما زاوية د قياسها $\text{٧٢}^\circ$)، إذن المثلثان غير متشابهين.

السؤال الثاني: إذا كان المثلث أ ب ج يشابه المثلث س ص ع، وكان طول أ ب = $\text{٤}$، وطول ب ج = $\text{٦}$، وطول أ ج = $\text{٨}$، وطول س ص = $\text{٦}$، فأوجد طول س ع. الإجابة: نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة: $\frac{\text{أ ب}}{\text{س ص}} = \frac{\text{أ ج}}{\text{س ع}}$ نعوض بالأرقام: $\frac{\text{٤}}{\text{٦}} = \frac{\text{٨}}{\text{س ع}}$ نضرب تبادلياً: $\text{٤} \times \text{س ع} = \text{٦} \times \text{٨}$ $\text{٤ س ع} = \text{٤٨}$ نقسم الطرفين على $\text{٤}$: $\text{س ع} = \text{١٢}$.