المسافة بين نقطتين

يعتمد درس المسافة بين نقطتين على نظرية فيثاغورس لحساب الطول المباشر بين أي نقطتين في المستوى الإحداثي. الفكرة الأساسية تقوم على استخدام القانون $ف = \sqrt{(س_۲ - س_۱)^۲ + (ص_۲ - ص_۱)^۲}$ والذي يحسب الفرق بين الإحداثيات السينية والصادية ثم يربعها ويجمعها ليأخذ الجذر التربيعي للناتج. من واقع الحياة، يمكن استخدام هذا القانون لحساب مسافة الطيران المباشرة بين مدينتين أو معرفة اتساع الغرفة لوضع تلفاز. على سبيل المثال، لإيجاد المسافة بين النقطتين $(۱، -۲)$ و$(٥، ۳)$، نعوض في القانون لنحصل على $ف = \sqrt{(٥ - ۱)^۲ + (-۲ - ۳)^۲}$ والذي يساوي $\sqrt{۱۶ + ۲۵}$ أي $\sqrt{۴۱}$ ويساوي تقريبا $۶,۴$ وحدة.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على حساب الطول المباشر بين أي نقطتين في المستوى الإحداثي باستخدام قانون يعتمد في أصله على نظرية فيثاغورس، ويمكن استخدامه كذلك لإيجاد إحداثي مجهول إذا كانت المسافة معلومة.

الشرح

لحساب المسافة ف بين نقطتين إحداثياتهما $(س_۱، ص_۱)$ و$(س_۲، ص_۲)$، نطبق القانون الآتي: $ف = \sqrt{(س_۲ - س_۱)^۲ + (ص_۲ - ص_۱)^۲}$. يعتمد هذا القانون على إيجاد الفرق بين الإحداثيات السينية لتربيعها، والفرق بين الإحداثيات الصادية لتربيعها، ثم جمع المربعين وأخذ الجذر التربيعي للناتج تماما كما في نظرية فيثاغورس للمثلث قائم الزاوية.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد المسافة بين النقطتين $(۵، ۳)$ و$(۱، -۲)$. الخطوة الأولى: نكتب قانون المسافة بين نقطتين: $ف = \sqrt{(س_۲ - س_۱)^۲ + (ص_۲ - ص_۱)^۲}$ الخطوة الثانية: نحدد القيم حيث $(س_۱، ص_۱) = (۳، ۵)$ و$(س_۲، ص_۲) = (-۲، ۱)$ الخطوة الثالثة: نعوض في القانون: $ف = \sqrt{(۱ - ۵)^۲ + (-۲ - ۳)^۲}$ الخطوة الرابعة: نبسط ما داخل القوسين: $ف = \sqrt{(-۴)^۲ + (-۵)^۲}$ الخطوة الخامسة: نربع القيم: $ف = \sqrt{۱۶ + ۲۵}$ الخطوة السادسة: نجمع ونبسط الناتج: $ف = \sqrt{۴۱}$ والتي تساوي تقريباً $۶,۴$

أخطاء شائعة

نسيان تربيع الفرق بين الإحداثيات السينية أو الصادية تحت الجذر. خطأ في إشارات السوالم عند طرح عدد سالب مثل $(-۲ - ۳)$. اعتبار أن لإيجاد الإحداثي المجهول قيمة واحدة فقط بينما توجد قيمتان محتملتان لأن البعد يمكن أن يكون في اتجاهين مختلفين.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد المسافة بين النقطتين $(۲، ۴)$ و$(-۳، -۱)$. الإجابة: $ف = \sqrt{(-۳ - ۲)^۲ + (-۱ - ۴)^۲} = \sqrt{(-۵)^۲ + (-۵)^۲} = \sqrt{۲۵ + ۲۵} = \sqrt{۵۰}$ أو تقريباً $۷,۱$. السؤال الثاني: أوجد القيم الممكنة للمتغير أ إذا كانت المسافة بين النقطتين $(۴، أ)$ و$(۳، -۶)$ تساوي $۱۰$ وحدات. الإجابة: نعوض في القانون ونربع الطرفين لنحصل على معادلة تربيعية حلها يودينا إلى أن القيم الممكنة للمتغير أ هي $۱$ أو $۷$.