نظرية فيثاغورس

تقوم نظرية فيثاغورس على ربط أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية ببعضها، حيث يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين مساوياً لمربع طول الوتر، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة وأطول أضلاع المثلث، وتكتب بالعلاقة $ج^2 = أ^2 + ب^2$. تُستعمل هذه النظرية لإيجاد طول ضلع مجهول في المثلث القائم إذا علم طولا الضلعين الآخرين. فمثلاً، إذا كان طولا الساقين هما 3 سم و4 سم، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعيها أي 9 + 16 = 25، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين يكون طول الوتر 5 سم.

الفكرة الأساسية

تقوم نظرية فيثاغورس على إيجاد العلاقة الرياضية بين أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. إذا عُرف طولا ضلعين في هذا المثلث، تمكنك النظرية من حساب طول الضلع الثالث بدقة.

الشرح

في أي مثلث قائم الزاوية، يسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع المثلث، بينما يسمى الضلعان الآخران ساقين. تنص نظرية فيثاغورس على أن مجموع مربعي طولي الساقين يساوي مربع طول الوتر. بالرموز، إذا كان الوتر يرمز له بالحرف $ج$ والساقان بالحرفين $أ$ و$ب$، فإن الصيغة تكون $ج^2 = أ^2 + ب^2$. لمعرفة طول الوتر، تعوض بطولي الساقين، ثم تجد المجموع، ثم تحسب الجذر التربيعي للناتج. أما لمعرفة طول أحد الساقين إذا كان الوتر معلوماً، فإنك تطرح مربع طول الساق المعلومة من مربع طول الوتر ثم تجد الجذر التربيعي.

مثال محلول خطوة بخطوة

أجد طول الضلع المجهول في المثلث القائم الذي فيه الضلعان القائمان 10 سم و24 سم.

1. اكتب المعادلة: $ج^2 = أ^2 + ب^2$.
2. عوض بالقيم المعطاة: $ج^2 = 10^2 + 24^2$.
3. ربع الأعداد: $ج^2 = 100 + 576$.
4. اجمع النواتج: $ج^2 = 676$.
5. أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين: $ج = \pm\sqrt{676}$.
6. بسط الناتج: $ج = 26$ (بما أن طول الضلع لا يكون سالباً، فإن طول الضلع المجهول هو 26 وحدة).

أخطاء شائعة

• جمع مربعي الضلعين بشكل خاطئ دون حساب المربع أولاً لكل عدد على حدة.
• الاعتقاد بأن الوتر هو أحد الضلعين القائمين، بينما الوتر هو دائماً الضلع المقابل للزاوية القائمة وأطول الأضلاع.
• نسيان استبعاد القيمة السالبة عند أخذ الجذر التربيعي للطرفين، مع العلم أن أطوال الأضلاع موجبة دائماً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أجد طول الوتر في مثلث قائم زاوية طول ساقيه 6 سم و8 سم. الإجابة: 10 سم. السؤال الثاني: أجد طول الضلع المجهول في مثلث قائم طول وتره 15 سم وطول أحد ساقيه 9 سم. الإجابة: 12 سم.