المعادلات الجذرية

المعادلة الجذرية هي معادلة يحتوي طرفها على متغير تحت الجذر، مثل $\sqrt{4.5ل} = ع$. لفصل المتغير وحل المعادلة، نجعل الجذر في طرف وحدَه ثم نتربع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر بناء على خاصية تربيع طرفي المساواة. بعد إيجاد قيمة المتغير، يجب التحقق من صحة الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية، لأن تربيع الطرفين قد ينتج عنه حلول دخيلة لا تحقق المعادلة الأصلية، مثلما يحدث عند حل المعادلات التي تحتوي على متغير في كلا طرفيها حيث نستخدم التحليل والخصائص الجبرية للوصول إلى الحلول الصحيحة.

الفكرة الأساسية

المعادلة الجذرية هي أي معادلة يحتوي فيها المتغير على جذر، مثل $\sqrt{4.5ل} = ع$. الفكرة الأساسية للحل تعتمد على عزل الجذر في طرف بمفرده، ثم تربيع طرفي المعادلة للتخلص من رمز الجذر تماماً وحل المعادلة الناتجة بالطرق المعتادة.

الشرح

لكل معادلة جذرية، نبدأ بجعل الجذر في طرف وحدَه من المعادلة أولاً. إذا وُجدت أعداد مجموعة أو مطروحة مع الجذر فنخلص منها بنقلها للطرف الآخر بعكس إشارتها. بعد أن يصبح الجذر وحيداً في أحد الطرفين، نستخدم خاصية تربيع طرفي المساواة والتي تنص على أنه إذا كانت أ = ب، فإن $أ^2 = ب^2$. هذا التربيع يلغي الجذر لنحصل على معادلة اعتيادية نحل فيها المتغير. يجب الانتباه دائماً إلى التحقق من صحة الحل في المعادلة الأصلية، لأن عملية تربيع الطرفين قد تنتج أحياناً حلولاً لا تحقق المعادلة الأصلية وتسمى حلولاً دخيلة.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة: $\sqrt{k+1} = k - 1$ ١. المعادلة الأصلية: $\sqrt{k+1} = k - 1$ ٢. ربع طرفي المعادلة: $(\sqrt{k+1})^2 = (k-1)^2$ ٣. بسّط الطرفين: $k + 1 = k^2 - 2k + 1$ ٤. اطرح ك و ١ من الطرفين لتصبح المعادلة صفرية: $0 = k^2 - 3k$ ٥. حلل بإخراج العامل المشترك: $0 = k(k - 3)$ ٦. استعمل خاصية الضرب الصفري: إما $k = 0$ أو $k - 3 = 0$ إذن $k = 3$. ٧. التحقق: عند تعويض $k = 0$ تنتج عبارة خاطئة (خطأ: $-1 = 1$) إذن الصفر حل دخيل. وعند تعويض $k = 3$ ينتج طرفان متساويان ($2 = 2$) إذن الحل الصحيح هو $k = 3$ فقط.

أخطاء شائعة

• نسيان التحقق من الحلول، مما يترك الحلول الدخيلة ضمن الإجابة النهائية.
• تربيع كل حد على حدة في الطرف الذي يحتوي على مجموع حدين بدلاً من تربيع الطرف كاملاً ككتلة واحدة.
• عدم عزل الجذر في طرف بمفرده قبل تربيع الطرفين.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة $\sqrt{h+1} + 7 = 12$. الإجابة: $h = 20$. السؤال الثاني: حل المعادلة $\sqrt{3s - 3} = \sqrt{s - 1}$. الإجابة: $s = 2$.