العمليات على العبارات الجذرية

تقوم الفكرة الأساسية للعمليات على العبارات الجذرية على معاملتها مثل وحيدات الحد والحدود الجبرية. في الجمع والطرح، يشترط أن تكون الجذور متشابهة، أي لها نفس العدد تحت الجذر، فنجمع أو نطرح المعاملات الخارجية فقط دون تغيير ما تحت الجذر. أما في الضرب، فيمكن ضرب الأعداد التي خارج الجذر معاً، وضرب الأعداد التي تحت الجذر معاً حتى لو كانت مختلفة، مع استعارة خصائص التوزيع والتجميع وضرب ثنائيات الحد كما في ضرب كثيرات الحدود. مثال سريع: $2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = (2+4)\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$، بينما في الضرب: $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$.

الفكرة الأساسية

العمليات على العبارات الجذرية تشبه إلى حد كبير العمليات على وحيدات الحد وكثيرات الحدود. لجمع أو طرح عبارات جذرية، يجب أن تتشابه الجذور تماماً بأن يكون العدد الذي تحت الجذر هو نفسه، ثم نجمع أو نطرح المعاملات. أما عند ضرب العبارات الجذرية، فلا يشترط تشابه ما تحت الجذر، بل نضرب ما بالخارج معاً وما بالداخل معاً.

الشرح

تخيل أن الجذر يشبه متغيراً مثل س أو ص؛ فكما أن $2س + 4س = 6س$ لأن الرموز متطابقة، فإن $2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ للسبب نفسه، ويبقى ما تحت الجذر ثابتاً لا يتغير في الجمع والطرح. وإذا كانت الجذور غير متشابهة في الجمع، مثل $2\sqrt{7} + 3\sqrt{2} + \sqrt{27}$، فيجب أولاً تبسيط كل حد جذري لعل وعسى تظهر جذور متشابهة يمكن جمعها. وفي حالة الضرب، نستخدم خاصية التوزيع وخاصية التجميع، فنضرب المعاملات الخارجية بعضها ببعض، ونضرب ما تحت الجذور بعضه ببعض، تماماً مثل ضرب الأقواس في العبارات الجبرية باستعمال طريقة الضرب بالتوزيع بالترتيب.

مثال محلول خطوة بخطوة

بسط العبارة الآتية: $\sqrt{3}(6 + \sqrt{7})$ الخطوة الأولى: طبق خاصية التوزيع بضرب الحد الخارجي في كل حد داخل القوس. $\sqrt{3}(6) + \sqrt{3}(\sqrt{7})$ الخطوة الثانية: أجر عمليات الضرب لكل جزء على حدة، مع ضرب ما تحت الجذر معاً. $6\sqrt{3} + \sqrt{21}$ الخطوة الثالثة: تحقق إن كان بالإمكان تبسيط الناتج أكثر، وبما أنه لا يوجد مربعات كاملة عوامل لـ 21، تنتهي المسألة هنا.

أخطاء شائعة

الخطأ الأكثر شيوعاً عند جمع العبارات الجذرية هو جمع الأعداد التي تحت الجذر معاً، مثل كتابة $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{7}$ وهذا خطأ فادح لأن الجمع يتطلب جذوراً متشابهة. ومن الخطأ أيضاً في الضرب أن يظن الطالب أنه لا يمكن ضرب جذور مختلفة تحت الجذر.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: بسط العبارة الآتية: $3\sqrt{6} - \sqrt{6} + 5\sqrt{6}$ الإجابة: $(3 - 1 + 5)\sqrt{6} = 7\sqrt{6}$ السؤال الثاني: بسط العبارة الآتية: $\sqrt{2} \times \sqrt{18}$ الإجابة: $\sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$