صفحة ١٣٠
انظر إلى فقرة لماذا: لو أردنا حساب ضغط الدم الانقباضي بدلالة العمر، فإننا نستعمل معادلة من الدرجة الثانية. أحياناً يكون تحليل هذه المعادلات أو تمثيلها صعباً، وهنا يأتي دور القانون العام. انظر إلى مفهوم أساسي: لحل أي معادلة تربيعية مكتوبة بالصورة القياسية حيث ، استخدم الصيغة . هذه الصيغة تعطيك الحلول مباشرة. في المثال الأول، المطلوب حل المعادلة . الخطوة الأولى هي كتابة المعادلة بالصورة القياسية بنقل 12 إلى الطرف الأيمن لتصبح . حدد قيم المعاملات: ، و، و. طبق القانون العام بالتعويض عن هذه القيم خطوة بخطوة، واضرب الأعداد، ثم أوجد الجذر التربيعي، وافصل الحلول إلى حالتين، لتجد في النهاية أن الحلين هما و.
صفحة ١٣١
انظر إلى المثال الثاني: لحل المعادلة باستخدام القانون العام، نبدأ بكتابتها بالصورة القياسية بطرح 25 من الطرفين لتصبح . القيم هنا هي ، و، و. بالتعويض في القانون العام، تظهر لك جذور قد لا تكون أعداداً نسبية، مثل . عندما تحتاج إلى تقريب، استعمل الآس الحاسبة، لتجد أن الحل المقرب إلى أقرب جزء من عشرة هو تقريباً أو . انظر الآن إلى المثال الثالث، وتحديداً الطريقة الأولى: التمثيل البياني. لحل المعادلة ، اكتبها بالصورة القياسية . مثل الدالة المرتبطة د(س) بيانيا، وحدد المقطعين السينيين، فهما يمثلان حلي المعادلة، وهما و.
صفحة ١٣٢
نتابع في الصفحة نفسها حل نفس المعادلة بطرق أخرى. في الطريقة الثانية، وهي التحليل إلى عوامل، نكتب المعادلة بالصورة القياسية ثم نحلل العبارة التربيعية إلى . باستعمال خاصية الضرب الصفري، إما أو ، ومنها الحلول هي و. في الطريقة الثالثة، وهي إكمال المربع، نجعل معامل يساوي واحداً، ونضيف مربع نصف معامل إلى الطرفين، ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لنصل إلى الحلول نفسها. وفي الطريقة الرابعة، نطبق القانون العام على نفس المعادلة لتجد النتيجة ذاتها. هذا يؤكد لك أن الطرق المختلفة تؤدي إلى نفس الحلول.
صفحة ١٣٣
انظر إلى جدول ملخص المفهوم في الأعلى: يوضح لك متى تفضل استخدام كل طريقة. التحليل إلى عوامل يناسب إذا كان الحد الثابت صفراً أو كان السحل تحديد العوامل. التمثيل البياني يُستعمل عندما يكون الحل التقريبي مقبولاً. خاصية الجذر التربيعي تُستعمل إذا كانت المعادلة على الصورة أو . إكمال المربع والقانون العام يمكن استعمالهما لأي معادلة، لكن القانون العام هو الأسهل غالباً. انظر إلى مفهوم أساسي في وسط الصفحة: المميز هو العبارة التي تحت الجذر في القانون العام، وهي . المميز يحدد عدد الحلول الحقيقية: إذا كان موجباً فللمعادلة حلان حقيقتان، وإذا كان صفراً فلها حل حقيقي واحد، وإذا كان سالباً فليس لها حلول حقيقية. انظر إلى المثال الرابع لتطبيق ذلك: أوجد قيمة المميز للمعادلة بعد كتابتها بالصورة القياسية، ستجد أن المميز يساوي ، وبما أنه سالب، فلا توجد حلول حقيقية.
صفحة ١٣٤
هذه الصفحة مخصصة للتمارين. في قسم تأكد، ستجد تدريبات متنوعة. في التمارين من 1 إلى 3، طُلب منك حل معادلات باستعمال القانون العام مع تقريب الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر. تذكر كتابة المعادلة بالصورة القياسية أولاً، وتحديد قيم أ وب وج بدقة. في التمارين من 4 إلى 6، حل المعادلات واذكر الطريقة التي استعملتها، ويمكنك اختيار الطريقة الأنسب مثل التحليل أو القانون العام. في التمارين من 7 إلى 9، أوجد قيمة المميز لكل معادلة ثم حدد عدد حلولها الحقيقية دون حلها كاملاً بالاعتماد على إشارة المميز. التمارين الأخرى تحتوي على مسائل لفظية مثل منصة القفز وحوادث السيارات والإعلانات، وفكرتها ترجوم الواقع إلى معادلة تربيعية ثم حلها بالطرق التي تعلمتها.
صفحة ١٣٥
نتابع التدريبات. في التمارين من 25 إلى 27، حدد دون استعمال التمثيل البياني عدد المقاطع السينية لكل دالة بالاعتماد على المميز. في التمارين من 28 إلى 30، حل معادلات باستخدام القانون العام مع تقريب الناتج. في التمرين 31، أنشئ جدولاً لتمثيل دالة أُسية، ثم مثل النقاط بيانيا وحدد نوع التمثيل، واكتب دالة تمثل هذا النمط. قسم مسائل التفكر العليا يبدأ بتحدٍ لإيجاد قيم ك التي تجعل للمعادلة حلين حقيقيين، وتبرير لعدد الحلول الحقيقية حسب خصائص التمثيل البياني مع محور السينات. بعد ذلك، اكتب مسألة مفتوحة تطلب كتابة ثلاث تربيعات بمميزات مختلفة: موجب وسالب وصفر. في نهاية الصفحة، تدريبات على اختبار لتختبر قدرتك على حل مسائل سريعة واختيار الإجابة الصحيحة.
صفحة ١٣٦
انظر إلى قسم مراجعة تراكمية: في التمارين من 41 إلى 43، حل معادلات بإكمال المربع مقرباً الحل إلى أقرب جزء من عشرة، وتذكر خطوة جعل معامل يساوي واحداً. في التمارين من 44 إلى 47، لديك دالة على الصورة ص = س^2 - 5 س + 4، ومطلوب منك كتابة معادلة محور التماثل، وإيجاد إحداثيات نقطة الرأس وتحديد ما إذا كانت عظمى أم صغرى، وتمثيل الدالة بيانيا، وتحديد مجالها ومداها بالاعتماد على خصائص الدوال التربيعية. في قسم استعد للدرس اللاحق، توجد مهارة سابقة تطلب إيجاد ناتج تبسيط جذور تربيعية وكسور، وهي مهارة أساسية ستلزمك في الدرس القادم.
صفحة ١٣٧
هذه الصفحة هي اختبار الفصل الثامن. في السؤال الأول، استخدم جدول القيم لتمثيل دالتين بيانيا وحدد مجالهما ومداهما. في التمرين الثالث، لديك دالة ومطلوب إيجاد قيمة عظمى أو صغرى، ومعادلة محور التماثل، والمدى. في التمارين من 6 إلى 8، حل معادلات تربيعية واستعمل الاختيار من متعدد لتحديد الدالة الممثلة بيانيا أو إيجاد مساحة المستطيل. في التمارين الأخرى، حل معادلات باستعمال إكمال المربع أو القانون العام، وابحث عن النمط في الجدول لتحديد ما إذا كانت البيانات تمثل دالة خطية أم تربيعية.
صفحة ١٣٨
نتابع اختبار الفصل الثامن بصيغة الاختيار من متعدد. في السؤال الأول، انظر إلى القطع المكافئ الممثل بيانيا وحدد إحداثيي رأسه من الخيارات. في السؤال الثاني، اكتب معادلة المستقيم الذي ميلُه ومقطعه الصادي 3. في السؤال الثالث، إذا كانت مساحة المستطيل هي وحدة مربعة، فما طوله أو عرضه؟ استخدم التحليل أو قسمة العبارات لتحديد الإجابة الصحيحة. في السؤال الرابع، اكتب عبارة تمثل مساحة المستطيل المعطى في الرسم. في السؤال الخامس، حل المعادلة التربيعية . في السؤال السادس، أوجد قيمة ر التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين يساوي .
صفحة ١٣٩
نتابع أسئلة اختبار الفصل في قسم الإجابة القصيرة والمطولة. في السؤال السابع، استعمل القانون العام لحل المعادلة التربيعية . في السؤال الثامن، استعمل التمثيل البياني لإجابة الأسئلة حول دالة القارب. في السؤال التاسع، لديك مسألة كلامية عن ثمن دفاتر وأقلام، والمطلوب تحليل عبارة، وكتابة نظام من المعادلات، ثم حل النظام لمعرفة ثمن كل من الدفتر والقلم، وملاحظة العلاقة بين التمثيل البياني للدوّال ومحور السينات. وفي أعلى الصفحة جدول يبين الأجرة الكلية لقارب مدة ن ساعة، والمطلوب الإجابة بناء عليه.
صفحة ١٤٠
انظر إلى بداية الفصل التاسع، وعنوانه: المعادلات الجذرية والمثلثات. في فقرة لماذا، انظر إلى صورة أمواج المحيط الهائجة؛ يتكون التسونامي من أمواج عالية ناتجة عن هزات أرضية تحت البحر، ويمكن استعمال معادلة جذرية لإيجاد سرعة التسونامي بالمتر لكل ثانية أو عمق المحيط بالأمتار. المفردات الجديدة في هذا الفصل تتضمن: إنطاق المقام، المعادلات الجذرية، الحلول الدخيلة، والنسب المثلثية. في أسفل الصفحة، تجد قسم المطويات ومنظم أفكار لتنظيم ملاحظاتك حول الفصل، حيث يطلب منك طي أوراق من المنتصف، وتثبيتها معا، وكتابة عناوين الدروس على كل صفحة لتسهيل المراجعة.
صفحة ١٤١
انظر إلى صفحة التهيئة للفصل التاسع. في قسم اختبار سريع، المادة تبدأ بمراجعة مهارات سابقة. في المثال الأول، أوجد الجذر التربيعي لأعداد مثل و مقرباً الجواب إلى أقرب جزء من مئة مستعملاً الآس الحاسبة عند اللزوم، مثل . في المثال الثاني، تذكر كيف تبسط عبارات جبرية بجمع الحدود المتشابهة. في المثال الثالث، حل معادلات تربيعية بالتحليل إلى العوامل أو بخاصية الضرب الصفري. في المثال الرابع، استعمل الضرب التبادلي لتحديد ما إذا كانت النسب تشكل تناسباً أم لا، وهي مهارة أساسية لحل مسائل التناسب والخرائط.
