حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

يقوم درس حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع على تحويل أي عبارة غير مربعة بالصورة س^٢ + ب س إلى مربع كامل يسهل جذره وحله. تعتمد الفكرة على أخذ نصف معامل س ثم تربيعه وإضافته للطرفين. فمثلا لإكمال عبارة س^٢ + ٦ س، نأخذ نصف الستة وهو ٣، ثم نربعها لتصبح ٩، فنضيفها لتصبح س^٢ + ٦ س + ٩ وتحلل إلى (س + ٣)^٢. تتضمن الخطوات تجهيز المعادلة بجعل معامل س^٢ يساوی ١، ثم نقل الحد الثابت، ثم إكمال المربع بإضافة المربع الناتج للطرفين، وأخيرا أخذ الجذر التربيعي للطرفين واستخراج الحلين.

الفكرة الأساسية

تقوم طريقة إكمال المربع على تحويل عبارة غير مربعة من الصورة $س^٢ + ب س$ إلى مربع كامل يسهل جذره وحله، وذلك بإضافة قيمة محددة تُحسب بأخذ نصف معامل $س$ ثم تربيع الناتج.

الشرح

لإكمال المربع لأي عبارة على الصورة $س^٢ + ب س$، اتبع الخطوات الآتية: أولا أوجد نصف معامل $س$، ثانيا ربّع الناتج، ثالثا أضف الناتج إلى العبارة لتصبح مربعا كاملا بالصورة $(س + \frac{b}{٢})^٢$. لحل معادلة تربيعية بهذه الطريقة، تأكد أولا أن معامل $س^٢$ يساوي ١، وإن لم يكن كذلك فاقسم جميع حدود المعادلة عليه. ثم اجعل الحدود التي تحتوي على المتغير $س$ في طرف والحد الثابت في الطرف الآخر، ثم أكمِع المربع بإضافة القلم المناسب للطرفين، وحلّل الطرف الأيسر كمربع كامل، وأخيرا خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة: $س^٢ - ٦ س + ١٢ = ١٩$ بإكمال المربع. الخطوة ١: اطرح ١٢ من كلا الطرفين لتصبح المعادلة: $س^٢ - ٦ س = ٧$. الخطوة ٢: أوجِد نصف معامل $س$ وهو $(\frac{-٦}{٢}) = -٣$، ثم ربّعه ليكون $(-٣)^٢ = ٩$. الخطوة ٣: أضف ٩ إلى كلا الطرفين: $س^٢ - ٦ س + ٩ = ٧ + ٩$. الخطوة ٤: بسّط وحلّل الطرف الأيمن: $(س - ٣)^٢ = ١٦$. الخطوة ٥: أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: $س - ٣ = \pm ٤$. الخطوة ٦: أضف ٣ إلى كل طرف لتجد الحلين: $س = ٣ + ٤$ أو $س = ٣ - ٤$، إذن الحلان هما ٧ و-١.

أخطاء شائعة

نسيان إضافة القيمة الناتجة من إكمال المربع إلى كلا طرفي المعادلة والاكتفاء بإضافتها لطرف واحد فقط. نسيان قسمة جميع حدود المعادلة على معامل $س^٢$ في البداية عندما يكون لا يساوي ١. الخطأ في تربيع عدد سالب عند إيجاد قيمة إكمال المربع مثل ناتج $(-٣)^٢$ كتابته سالبا خطأ والصحيح أنه موجب ٩.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة ج التي تجعل ثلاثية الحدود $س^٢ - ٨ ر + ج$ مربعا كاملا؟ الإجابة: ج = ١٦. السؤال الثاني: حل المعادلة $س^٢ - ٤ س = ٦$ بإكمال المربع. الإجابة: $س = ٢ \pm \sqrt{١٠}$.