حل المعادلات التربيعية بيانيًّا

حل المعادلات التربيعية بيانيا يعتمد على إيجاد المقاطع السينية للتمثيل البياني للدالة المرتبطة. انظر إلى نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات؛ فهذه النقاط تمثل حلول المعادلة، أو ما تسمى جذورها. قد يقطع المنحنى محور السينات في نقطتين، فيكون للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان، أو يمسه في نقطة واحدة فيكون لها حل حقيقي وحيد يسمى جذرا مكررا، أو لا يقطعه أبدا فلا توجد حلول حقيقية. على سبيل المثال، لحل المعادلة $س^2 - ٢س - ٨ = ٠$ بيانيا، نمثل الدالة المرتبطة بها $د(س) = س^2 - ٢س - ٨$ فنلاحظ أن المنحنى يقطع محور السينات عند $-٢$ و$٤$، إذن الحلول هي $-٢$ و$٤$.

الفكرة الأساسية

حل المعادلة التربيعية بيانيا يعني معرفة القيم التي تجعل العبارة التربيعية مساوية للصفر. هذه القيم هي نفسها الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع التمثيل البياني للدالة المرتبطة مع محور السينات.

الشرح

لكل معادلة تربيعية صورة قياسية هي $أ س^2 + ب س + ج = ٠$ حيث $أ eq ٠$. عندما تريد حلها بيانيا، استبدل الصفر بصاد لتكتبها على صورة دالة مرتبطة$د(س) = أ س^2 + ب س + ج$. ارسم هذه الدالة على المستوي الإحداثي وانظر إلى مكان تقاطع المنحنى مع محور السينات. بحسب عدد مرات التقاطع، يوجد ثلاثة احتمالات لعدد الحلول الحقيقية:

• حلان حقيقيان مختلفان: عندما يقطع المنحنى محور السينات في نقطتين.
• حل حقيقي وحيد أو جذر مكرر: عندما يمس المنحنى محور السينات عند رأس القطع المكافئ في نقطة واحدة.
• لا توجد حلول حقيقية: عندما لا يتقاطع المنحنى مع محور السينات أبدا.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة $س^2 - ٢س - ٨ = ٠$ بيانيا. الخطوة الأولى: اكتب الدالة المرتبطة بالمعادلة وهي $د(س) = س^2 - ٢س - ٨$. الخطوة الثانية: ارسم التمثيل البياني لهذه الدالة على المستوي الإحداثي. الخطوة الثالثة: حدد المقاطع السينية للتمثيل البياني. انظر إلى النقطتين اللتين يقطع فيهما المنحنى محور السينات، فتجد أنه يقطعه عند $س = -٢$ وعند $س = ٤$. إذن الحلول هي $-٢$ و$٤$.

أخطاء شائعة

الخطأ الشائع هو الخلط بين المقطع الصادي ومقاطع السينات؛ فالصحيح أن الحلول تقرأ حصرا من تقاطع المنحنى مع محور السينات الأفقي وليس محور الصادات الرأسي. خطأ آخر هو ظن أن الحلول الدقيقة تظهر دائما بأرقام صحيحة، بينما قد تقع بين الأعداد، وهنا يلزم تقدير الجذور باستخدام جدول القيم أو أجزاء من عشرة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة $س^2 - ٦س = -٩$ بيانيا. الإجابة: أعد كتابتها بالصورة القياسية أولا لتصبح $س^2 - ٦س + ٩ = ٠$. مثل الدالة المرتبطة $د(س) = س^2 - ٦س + ٩$. يمس المنحنى محور السينات عند النقطة $س = ٣$ فقط، إذن الحل هو $٣$ وهو جذر مكرر. السؤال الثاني: حل المعادلة $٢س^2 - ٣س + ٥ = ٠$ بيانيا. الإجابة: مثل الدالة المرتبطة $د(س) = ٢س^2 - ٣س + ٥$. ستلاحظ أن التمثيل البياني لا يقطع محور السينات أبدا، إذن لا توجد جذور حقيقية ومجموعة الحل هي المجموعة الخالية.