تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا

تقوم فكرة تمثيل الدوال التربيعية بيانيا على رسم شكل منحني يسمى قطعا مكافئا، بحيث تُكتب الدالة على الصورة القياسية ص = أ س^2 + ب س + ج، بشرط أ لا يساوي صفرا. وأهم ما في الدرس هو تحديد خصائص هذا القطع مثل الرأس، ومعادلة محور التماثل التي تحسب بالقانون س = -ب / (2 أ)، والمقطع الصادي ج، لتحديد ما إذا كان المنحنى مفتوحا إلى أعلى أو أسفل. مثال سريع: لدالة ص = س^2 + 3 س + 3، يكون الرأس عند النقطة (-2، -1) ومعادلة محور التماثل س = -2، والمنحنى مفتوح إلى أعلى لأن قيمة أ موجبة.

الفكرة الأساسية

الدالة التربيعية هي دالة غير خطية تختلف عن الدوال الخطية في أن تمثيلها البياني لا يكون على صورة خط مستقيم، بل يكون على شكل منحني يسمى قطعا مكافئا. تُكتب الدالة التربيعية على الصورة القياسية ص = أ س^2 + ب س + ج، حيث أ لا يساوي صفرا. وتقوم الفكرة على إيجاد خصائص هذا القطع مثل الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي، والقيم العظمى أو الصغرى لتمثيله بدقة على المستوي الإحداثي.

الشرح

لكي تمثل أي دالة تربيعية بيانيا، عليك اتباع خطوات واضحة تبدأ بتحديد المعاملات أ وب وج من الصورة القياسية ص = أ س^2 + ب س + ج. أولا، أوجد معادلة محور التماثل باستخدام الصيغة س = -ب / (2 أ). ثانيا، خذ الإحداثي السيني الناتج وعوض به في معادلة الدالة الأصليّة لإيجاد الإحداثي الصادي للرأس، لتصبح نقطة الرأس هي (س، ص)، وحينها تحدد ما إذا كان الرأس يمثل نقطة صغرى أم عظمى؛ فإذا كان أ موجبا يكون القطع مفتوحا إلى أعلى والرأس صغرى، وإذا كان أ سالبا يكون القطع مفتوحا إلى أسفل والرأس عظمى. ثالثا، أوجد المقطع الصادي الذي يقع دائما عند النقطة (0، ج). رابعا، استخدم خاصية التماثل لإيجاد نقاط أخرى على التمثيل البياني للمنحنى. خامسا، صل بين النقاط بمنحنى متصل.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل الدالة ص = س^2 + 4 س + 3 بيانيا، وأوجد معادلة محور التماثل والرأس. الخطوة 1: أوجد معادلة محور التماثل. من المعادلة نجد أن أ = 1 وب = 4، وبتطبيق الصيغة س = -ب / (2 أ) يصبح س = -4 / (2 × 1) إذن س = -2، ومعادلة محور التماثل هي س = -2. الخطوة 2: أوجد الرأس. عوض بالقيمة س = -2 في المعادلة الأصلية ص = (-2)^2 + 4(-2) + 3 لتنتج ص = 4 - 8 + 3 إذن ص = -1، إذن الرأس هو النقطة (-2، -1). ولأن أ موجبة (أ = 1)، فالتمثيل يكون مفتوحا إلى أعلى، لذا يمثل الرأس قيمة صغرى. الخطوة 3: أوجد المقطع الصادي. عوض بـ س = 0 في المعادلة الأصلية ص = (0)^2 + 4(0) + 3 ليصبح المقطع الصادي يساوي 3، أي عند النقطة (0، 3). الخطوة 4 و5: استعمل التماثل لإيجاد نقاط أخرى، ثم صل النقاط بمنحنى.

أخطاء شائعة

• نسيان وضع الإشارة السالبة عند حساب معادلة محور التماثل عندما يكون معامل ب سالبا.
• الخلط بين تحديد النقطة على أنها قيمة عظمى أو صغرى، وعدم الانتباه لإشارة معامل أ.
• إيجاد الإحداثي السيني للرأس فقط ونسيان تعويضه في الدالة لإيجاد الإحداثي الصادي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل والمقطع الصادي للدالة ص = 2 س^2 - 4 س - 3. الإجابة الأولى: أ = 2، ب = -4، ج = -3. معادلة محور التماثل هي س = -(-4) / (2 × 2) وتساوي س = 1. الإحداثي الصادي للرأس هو ص = 2(1)^2 - 4(1) - 3 وتساوي -5، إذن الرأس هو (1، -5). المقطع الصادي هو -3. السؤال الثاني: حدد فيما إذا كان للدالة ص = -2 س^2 - 4 س + 6 قيمة عظمى أم صغرى، ثم أوجدها. الإجابة الثانية: بما أن معامل أ وهو -2 عدد سالب، فإن التمثيل البياني يكون مفتوحا إلى أسفل، ولذلك توجد للدالة قيمة عظمى. الإحداثي السيني للرأس هو س = -(-4) / (2 × -2) وتساوي -1، وبالتعويض في الدالة تصبح القيمة العظمى تساوي 8.