المعادلات التربيعية: المربعات الكاملة

يقوم هذا الدرس على فكرة تحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعاً كاملاً، واستخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلات التربيعية التي تتضمن مبعات كاملة أو عوامل متكررة. أهم ما فيه التأكد من شروط المربع الكامل، مثل أن يكون الحد الأول والأخير مربعين كاملين، وأن يكون الحد الأوسط ضعف ضرب الجذر التربيعي لهما. مثال سريع: المعادلة $_2(س - ٦) = ٨١$ تُحل بأخذ الجذر التربيعي للطرفين لتصبح $س - ٦ = \pm ٩$ ومنها نجد الجذرين.

الفكرة الأساسية\nتعلمنا سابقاً مفكوك ثنائي الحد على صورة مربع كامل، مثل $_2(أ + ب) = \_2أ + ٢أب + \_2ب$. في هذا الدرس، نعكس هذه العملية لتحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعاً كاملاً، واستخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلات التي تتضمن مربعات كاملة أو عوامل متكررة.\n\n## الشرح\nلتكون ثلاثية الحدود قابلة للتحليل على صورة مربع كامل، يجب تحقق ثلاثة شروط أساسية:\n١. أن يكون الحد الأول مربعاً كاملًا.\n٢. أن يكون الحد الأخير مربعاً كاملًا وبإشارة موجبة.\n٣. أن يكون الحد الأوسط ضعف ضرب الجذر التربيعي للحدين الأول والأخير، بإشارة موجبة أو سالبة.\nوإذا احتوت المعادلة على مربع كامل، فيمكننا حلها باستخدام خاصية الجذر التربيعي التي تنص على أنه لأي عدد حقيقي ن أكبر من أو يساوي الصفر، إذا كان $_2س = ن$ فإن $س = \pm \sqrt{ن}$.\n\n## مثال محلول خطوة بخطوة\nحل المعادلة: $_2(س - ٦) = ٨١$\n- الخطوة ١: اكتب المعادلة الأصلية: $_2(س - ٦) = ٨١$\n- الخطوة ٢: استعمل خاصية الجذر التربيعي للطرفين: $س - ٦ = \pm \sqrt{٨١}$\n- الخطوة ٣: أوجد جذر العدد ٨١: $س - ٦ = \pm ٩$\n- الخطوة ٤: أجمع ٦ إلى كلا الطرفين: $س = ٦ \pm ٩$\n- الخطوة ٥: افصل المعادلة إلى حالتين: $س = ٩ + ٦$ أو $س = -٩ + ٦$\n- الخطوة ٦: بسّط النتائج: $س = ١٥$ أو $س = -٣$. إذن الجذران هما ١٥ و -٣.\n\n## أخطاء شائعة\n- نسيان كتابة الإشارتين الموجبة والسالبة $(\pm)$ عند أخذ الجذر التربيعي للطرفين.\n- الحكم بأن ثلاثية الحدود تمثل مربعاً كاملاً دون التحقق من شرط الحد الأوسط.\n- الخطأ في إيجاد الجذر التربيعي للحدين الأول أو الأخير.\n\n## سؤالان للتدريب مع الإجابة\nالسؤال الأول: حدد إن كانت ثلاثية الحدود $_2س - ١٠س + ٢٥$ تشكل مربعاً كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحّلها.\nالإجابة: نعم، تشكل مربعاً كاملاً، وتحليلها هو $_2(س - ٥)$.\nالسؤال الثاني: حل المعادلة: $_2(ص - ٤) = ٢٥$\nالإجابة: الجذران هما ٩ و -١.