المعادلات التربيعية: الفرق بين مربعين

يقوم درس المعادلات التربيعية: الفرق بين مربعين على تحليل ثنائية حد يكون فيها الحد الأول مربعاً كاملاً والحد الثاني مربعاً كاملاً وبينهما إشارة طرح. قاعدة التحليل تعتمد على كتابة العبارة في صورة حاصل ضرب مجموع الحدين في الفرق بينهما، أي $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. تستخدم هذه القاعدة لتحليل كثيرات الحدود وحل المعادلات التربيعية بعد جعل أحد طرفيها يساوي صفراً واستعمال خاصية الضرب الصفري. فمثلاً لتحليل العبارة $s^2 - 25$ تكتب على صورة $(s)^2 - (5)^2$ ثم تحلل إلى $(s + 5)(s - 5)$.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة الأساسية على تحليل ثنائية حد مكونة من مربعين بينهما علامة طرح. إذا كانت العبارة على صورة $a^2 - ب^2$ فإن تحليلها يكون بحاصل ضرب مجموع الحدين في الفرق بينهما.

الشرح

عندما ترى حدين مربعين وبينهما علامة ناقص، تذكر أن ناتج ضرب مجموع كميتين في الفرق بينهما ينتج عنه الفرق بين مربويهما. القاعدة الرياضية المنصوص عليها هي $a^2 - ب^2 = (a + ب)(a - ب)$. قد تحتاج في بعض المسائل إلى إخراج القاسم المشترك الأكبر أولاً ثم تطبيق تحليل الفرق بين مربعين، أو قد تحتاج إلى تطبيق التحليل أكثر من مرة إذا كانت النتيجة تتيح ذلك.

مثال محلول خطوة بخطوة

لحل وتحليل العبارة $16h^2 - 19a^2$، نتبع الخطوات الآتية:

1. نكتب العبارة على صورة $a^2 - ب^2$ ليصبح شكلها $(4h)^2 - (9a)^2$.
2. نطبق تحليل الفرق بين مربعين وهي $(a + ب)(a - ب)$.
3. الناتج النهائي هو $(4h + 9a)(4h - 9a)$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء الشائعة محاولة تحليل مجموع المربعين $a^2 + ب^2$ بنفس طريقة الفرق بين مربعين، والصواب أن مجموع مربعين هو كثيرة حدود أولية لا يمكن تحليلها في مجموعة الأعداد الحقيقية. ومن الأخطاء أيضاً نسيان إخراج العامل المشترك الأكبر قبل البدء بعملية تحليل الفرق بين مربعين.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حلل كثيرة الحدود $s^2 - 81$. الإجابة: $(s + 9)(s - 9)$. السؤال الثاني: حل المعادلة s^2 - rac{9}{16} = 0. الإجابة: s = rac{3}{4} أو s = -rac{3}{4}.