المعادلات التربيعية: أ س٢ + ب س + ج = ٠
انظر إلى مسار الأرجوحة في الصورة، يمكن تمثيله بعبارة فيها تربيع، تماماً مثلما نحسب مساحة غرفة مربعة بطول ضلع مجهول. الدرس اليوم يعلمك كيف تحلل عبارة على الصورة عندما يكون معامل أكبر من واحد. انظر إلى خطوات الحل المرقمة: نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معامل في الحد الثابت، ومجموعهما يساوي الحد الأوسط، ثم نستعمل التجميع لنخرج العامل المشترك. اتبع المثال المكتوب في القاعدة لتفهم كيف نجزئ الحد الأوسط إلى جزئين بناء على هذين العددين.
تقوم الفكرة على تحليل العبارة التربيعية التي تكون على الصورة عندما يكون معامل أكبر من واحد، وذلك عبر البحث عن عددين صحيحين حاصل ضربهما يساوي الناتج بين و ومجموعهما يساوي ثم استخدام خاصية التجميع للتحليل. بعد ذلك، يمكن حل المعادلة التربيعية المرتبطة بها عبر جعلها مساوية للصفر واستخدام خاصية الضرب الصفري. خذ مثلا العبارة ؛ نبحث عن عددين حاصل ضربهما ومجموعهما فهما و، ثم نكمل بخطوات التجميع لنصل إلى التحليل النهائي.
الفكرة الأساسية
تعتمد الفكرة الأساسية على تحليل العبارة التربيعية التي تظهر على الصورة حين يكون معامل مخالفا للواحد، وتتلخص في إيجاد عددين صحيحين حاصل ضربهما يساوي ناتج ضرب ومجموعهما يساوي ، ثم إعادة كتابة الحد الاوسط باستعمال هذين العددين واستخدام طريقة التجميع لإكمال التحليل.
الشرح
حين تواجه عبارة تربيعية يكون فيها معامل أكبر من واحد مثل ، فإن تحليلها بطريقة مباشرة يكون أصعب مقارنة بحالة كان معامل يساوي واحدا. للتعامل مع هذا الموقف، نبدأ أولا بالبحث عن القاسم المشترك الأكبر للحدود إن وجد لإخراجه وتسهيل الأرقام. بعد ذلك، نضرب معامل في الحد الثابت . نبحث عن عددين صحيحين نرمز لهما بـ م و ن بحيث يكون حاصل ضربهما ومجموعهما يساوي الحد الأوسط ب. بعد تحديد هذين العددين، نقوم بتفكيك الحد الأوسط باستعمالهما على الصورة . ثم نطبق خاصية التجميع بأخذ كل حدين معا واستخراج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة حتى يظهر لنا قوس مشترك نأخذه كعامل مشترك أخير لنحصل على ناتج التحليل. أما في حال المعادلات، فنضع العبارة مساوية للصفر، ونحللها أولا، ثم نستخدم خاصية الضرب الصفري لإيجاد قيم المتغير.
مثال محلول خطوة بخطوة
حلل العبارة التربيعية التالية: . الخطوة الأولى: نحدد قيم المعاملات في العبارة وهي و و. الخطوة الثانية: نجد حاصل ضرب أي . ونبحث عن عددين ضربهما ومجموعهما يساوي الحد الأوسط . وهذان العددان هما و لأن و. الخطوة الثالثة: نكتب العبارة مع تفكيك الحد الأوسط باستعمال العددين وهما م و ن: الخطوة الرابعة: نستعمل التجميع لتحديد العوامل المشتركة، فنجمع الحدود ذات العوامل المشتركة: الخطوة الخامسة: نحلل كل تجمع بإخراج العامل المشترك الأكبر ق.م.أ: الخطوة الساخنة والاخيرة: نأخذ القوس المشترك عاملا مشتركا لنحصل على الناتج النهائي:
أخطاء شائعة
- نسيان إخراج القاسم المشترك الأكبر للحدود كخطوة أولى قبل بدء البحث عن العددين، مما يجعل الأرقام كبيرة وصعبة.
- الخلط في إشارات العددين م و ن؛ إذ يجب الانتباه لكون إشارة حاصل الضرب وإشارة المجموع متفقتين أو مختلفتين بناء على إشارات الحدود في العبارة الأصلية.
- التوقف عند خطوة التجميع وعدم إكمال استخراج القوس المشترك الأكبر كعامل نهائي.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: حلل كثيرة الحدود التالية: . الإجابة: . السؤال الثاني: حلل كثيرة الحدود التالية: . الإجابة: .