المعادلات التربيعية: س٢ + ب س + ج = ٠

يقوم تحليل ثلاثية الحدود على الصورة $س^٢ + ب س + ج$ على فكرة عكس عملية ضرب ثنائيتي حد. نبحث عن عددين ناتج ضربهما يساوي الحد الأخير $ج$، ومجموعهما يساوي معامل الحد الأوسط $ب$، لتكتب العبارة على صورة حاصل ضرب قوسين $(س + م)(س + ن)$. وإذا كانت المعادلة صفراً، فنستعمل خاصية الضرب الصفري لإيجاد قيم المتغير بعد التحليل. مثال: لتحليل $س^٢ + ٩س + ٢٠$، نبحث عن عددين ضربهما $٢٠$ ومجموعهما $٩$ فهما $٤$ و$٥$، وتصبح العبارة $(س + ٤)(س + ٥)$.

الفكرة الأساسية

تقوم فكرة تحليل ثلاثية الحدود على الصورة $س^٢ + ب س + ج$ على عكس عملية ضرب ثنائيتي حد. الهدف هو تفكيك العبارة الجبرية إلى حاصل ضرب قوسين من الشكل $(س + م)(س + ن)$، حيث يعتمد اختيار العددين $م$ و$ن$ على إشارتي الحد الأوسط والحد الأخير.

الشرح

عندما تكون ثلاثية الحدود على الصورة $س^٢ + ب س + ج$، نبحث عن عددين صحيحين حاصل ضربهما يساوي الحد الأخير $ج$ ومجموعهما يساوي معامل الحد الأوسط $ب$. نحدد الإشارات بناء على قواعد واضحة: إذا كان الحد الأخير موجباً فالعددين لهما نفس إشارة الحد الأوسط، وإذا كان سالباً فالعددين مختلفان في الإشارة ويكون للعدد الأكبر قيمة مطلقة نفس إشارة الحد الأوسط. أما في حل المعادلات التربيعية، فنكتب المعادلة أولاً بالصورة القياسية بحيث يصبح أحد طرفيها صفراً، ثم نتحلل العبارة، ونستعمل خاصية الضرب الصفري لإيجاد قيم المتغير.

مثال محلول خطوة بخطوة

لحل المعادلة $س^٢ + ٦س = ٢٧$: الخطوة الأولى: اكتب المعادلة بالصورة القياسية بطرح $٢٧$ من كلا الطرفين ليصبح أحد الطرفين صفراً: $س^٢ + ٦س - ٢٧ = ٠$. الخطوة الثانية: حلل ثلاثية الحدود $س^٢ + ٦س - ٢٧$. نبحث عن عددين حاصل ضربهما $-٢٧$ ومجموعهما $٦$. العددان هما $٩$ و$-٣$. الخطوة الثالثة: اكتب التحليل على صورة قوسين: $(س - ٣)(س + ٩) = ٠$. الخطوة الرابعة: استعمل خاصية الضرب الصفري: إما $س - ٣ = ٠$ إذن $س = ٣$، أو $س + ٩ = ٠$ إذن $س = -٩$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع اختيار عددين مجموعهما يساوي الحد الأوسط دون التأكد من أن حاصل ضربهما يساوي الحد الأخير بدقة مع إشاراته. كما يقع البعض في خطأ عدم جعل أحد طرفي المعادلة صفراً قبل البدء بعملية التحليل.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حلل كثيرة الحدود $س^٢ + ٩س + ٢٠$. الإجابة: $(س + ٤)(س + ٥)$. السؤال الثاني: حل المعادلة $س^٢ - ٧س - ١٨ = ٠$. الإجابة: $س = ٩$ أو $س = -٢$.