ضرب كثيرات الحدود
انظر إلى أعلى الصفحة، أمامك مسألة من واقع الحياة عن تفصيل الثوب، وكيف نستعمل ضرب ثنائيتي حد لحساب المساحة التقريبية للقماش. في مثال واحد، سنضرب . استعمل الطريقة الرأسية بضرب الحد الأول في القوس الثاني، ثم اضرب الحد الثاني، واجمع الحدود المتشابهة لتصل إلى الناتج النهائي وهو . الطريقة الأفقية تعتمد على توزيع القوس الأول على القوس الثاني كاملاً، ثم فك الأقواس وجمع الحدود ذات القوة نفسها تماماً كما فعلنا في الطريقة الرأسية.
يتمحور درس ضرب كثيرات الحدود حول توزيع كل حد في العبارة الأولى على جميع حدود العبارة الثانية باستخدام خاصية التوزيع. نضرب المعاملات ونجمع أسس المتغيرات المتشابهة عند الضرب، ثم نجمع الحدود المتشابهة في الناتج النهائي. على سبيل المثال، لضرب العبارة (س + ٢) في (س + ٥)، نضرب الحد الأول (س) في (س) وفي (٥)، ثم نضرب العدد (٢) في (س) وفي (٥)، لنحصل على س تربيع زائد ٥ س زائد ٢ س زائد ١٠، وبعد جمع الحدود المتشابهة تصبح النتيجة س تربيع زائد ٧ س زائد ١٠. يمكن إجراء هذه العملية بالطريقة الرأسية أو الأفقية أو باستخدام طريقة التوزيع بالترتيب التي تختصر ضرب الحدين الأولين، والطرفين، والأوسطين، والأخيرين للحصول على النتيجة بدقة وسرعة.
الفكرة الأساسية
تعتمد فكرة ضرب كثيرات الحدود على تعميم خاصية التوزيع التي تعلمتها سابقاً في ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود. الهدف هو ضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في القوس الثاني، ثم تجميع الحدود المتشابهة للحصول على أبسط صورة للناتج.
الشرح
لضرب ثنائيتي حد، يمكنك استخدام طريقة التوزيع بالترتيب، والتي تختصر في ضرب الحدين الأولين، ثم ضرب الحدين في الطرفين، ثم ضرب الحدين الأوسطين، وأخيراً ضرب الحدين الأخيرين. كما يمكنك استخدام الطريقة الرأسية بترتيب الحدود تحت بعضها واصطفاف المتغيرات المتشابهة، أو الطريقة الأفقية بكتابة النواتج في سطر واحد ثم جمع الحدود التي لها نفس الأسس باستخدام جمع المعاملات.
مثال محلول خطوة بخطوة
أوجد ناتج ضرب العبارة (س - ٢) في (س + ٣): ١. استخدم طريقة التوزيع بالترتيب بضرب الحد الأول في القوس الأول (س) بالحد الأول في القوس الثاني (س) فيكون الناتج س تربيع. ٢. اضرب الحد الأول (س) في الحد الثاني (٤) فيكون الناتج ٤ س. ٣. اضرب الحد الثاني في القوس الأول (-٢) في الحد الأول في القوس الثاني (س) فيكون الناتج -٢ س. ٤. اضرب الحد الثاني (-٢) في الحد الثاني (٤) فيكون الناتج -٨. ٥. اكتب النواتج معاً: س تربيع زائد ٤ س ناقص ٢ س ناقص ٨. ٦. اجمع الحدود المتشابهة (٤ س ناقص ٢ س) لتصبح النتيجة النهائية: س تربيع زائد ٢ س ناقص ٨.
أخطاء شائعة
- نسيان ضرب جميع الحدود، مثل الاكتفاء بضرب الأول في الأول والأخير في الأخير دون الالتفات للطرفين والأوسطين.
- الخطأ في إشارات الموجب والسالب عند ضرب الأعداد الثابتة والمتغيرات.
- جمع الأسس بدلاً من جمع المعاملات عند تجميع الحدود المتشابهة في خطوة التبسيط الأخيرة.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: أوجد ناتج ضرب العبارة (س + ٥) في (س + ٢). الإجابة: س تربيع زائد ٧ س زائد ١٠. السؤال الثاني: أوجد ناتج ضرب العبارة (ص - ٧) في (٣ ص + ٥). الإجابة: ٦ ص تربيع ناقص ١١ ص ناقص ٣٥.