جمع كثيرات الحدود وطرحها

يقوم جمع كثيرات الحدود وطرحها على جمع الحدود المتشابهة أو طرحها، وهي الحدود التي تتضمن المتغيرات نفسها مرفوعة إلى الأسس نفسها. لجمع كثيرتي حدود، يمكن استخدام الطريقة الأفقية بجمع الحدود المتشابهة معاً، أو الطريقة الرأسية بترتيب الحدود المتشابهة عمودياً فوق بعضها البعض. أما في عملية الطرح، فيتم طرح كثيرة الحدود بإضافة نظيرها الجمعي، وذلك بضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود الثانية في العدد $-1$ ثم الجمع بالطريقة الاعتيادية. مثال ذلك عند جمع $(2س^2+5س-7)+(-3س^2+6س)$ يتم جمع معاملات الحدود المتشابهة ليكون الناتج النهائي $-س^2+11س-4$.

الفكرة الأساسية

تعتمد عملية جمع كثيرات الحدود وطرحها على تجميع الحدود المتشابهة، وهي الحدود التي تحتوي على نفس المتغيرات وبنفس الأسس. في الجمع يتم جمع معاملات هذه الحدود مباشرة، بينما في الطرح يتم تحويل العملية إلى جمع بإضافة النظير الجمعي لكثيرة الحدود المطروحة.

الشرح

لجمع كثيرة حدود مع كثيرة حدود أخرى، توجد طريقتان:

1. الطريقة الأفقية: تُكتب كثيرتا الحدود بجانب بعضهما، ثم تُجمع الحدود المتشابهة بوضعها داخل أقواس وتجميع معاملاتها.
2. الطريقة الرأسية: تُرتب الحدود المتشابهة عمودياً بعضها تحت بعض وتُجمع المعاملات تحت كل عمود. أما عند طرح كثيرة حدود من أخرى، فلا بد من إيجاد النظير الجمعي لكثيرة الحدود الثانية أولاً. يُوجد النظير الجمعي بضرب كل حد فيها في العدد $-1$، مما يغير جميع إشارات حدودها، ثم تُجرى عملية الجمع بالطريقة المعتادة سواء أفقياً أو رأسياً.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج: $(7ك+4ك^3-8)-(3ك^2+2-9ك)$ الخطوة الأولى: إيجاد النظير الجمعي لكثيرة الحدود الثانية بضرب كل حد فيها في $-1$ ليصبح: $-3ك^2-2+9ك$. الخطوة الثانية: كتابة عملية الطرح على صورة جمع مع النظير الجمعي: $(7ك+4ك^3-8)+(-3ك^2-2+9ك)$ الخطوة الثالثة: ترتيب الحدود حسب الأسس تصاعدياً أو تنازلياً وتجميع الحدود المتشابهة: $= [4ك^3] + [-3ك^2] + [7ك + 9ك] + [-8 + (-2)]$ الخطوة الرابعة: جمع معاملات الحدود المتشابهة للحصول على الناتج النهائي: $= 4ك^3 - 3ك^2 + 16ك - 10$

أخطاء شائعة

• نسيان تغيير إشارات جميع حدود كثيرة الحدود الثانية عند الطرح، حيث يتم تغيير إشارة الحد الأول فقط وتُترك باقي الإشارات كما هي.
• محاولة جمع حدود غير متشابهة، مثل جمع حد يحتوي على $س^2$ مع حد يحتوي على $س$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد ناتج $(5س^2-3س+4)+(6س-3س^2-3)$ الإجابة: $2س^2+3س+1$ السؤال الثاني: أوجد ناتج $(4س^3-3س^2+6س-4)-(-2س^3+س^2-2)$ الإجابة: $6س^3-4س^2+6س-2$