كثيرات الحدود

كثيرة الحدود هي عبارة عن وحيدة حد أو مجموع وحيدات حد. لتحديد درجة كُثيرة الحدود، نبحث عن أعلى درجة لأي حد من حدودها بعد إيجاد درجة كل حد على حدة. لكتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية، نرتب الحدود تنازلياً بحسب درجاتها، ويكون المعامل الرئيس هو معامل أول حد في هذه الصورة. مثال على ذلك: العبارة $4س^3 - 5س^2 + 2س + 7$ مكتوبة بالصورة القياسية، ودرجتها هي $3$، ومعاملها الرئيس هو $4$.

الفكرة الأساسية

تتعامل مع المقادير الجبرية التي تتكون من حد واحد أو عدة حدود، وكيفية تصنيفها، وإيجاد درجتها، وكتابتها بالصورة القياسية لتسهيل قراءتها وحساباتها.

الشرح

كثيرة الحدود هي عبارة عن وحيدة حد، أو مجموع وحيدات حد تسمى حدوداً. إذا تكونت من حدين تسمى ثنائية حد، وإذا تكونت من ثلاثة حدود تسمى ثلاثية حد. لمعرفة درجة أي حد، اجمع أسس كل متغيراته. أما درجة كثيرة الحدود فهي أكبر درجة لأي حد من حدودها. لكتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية لمتغير واحد، اكتب الحدود بترتيب تنازلي بحسب درجتها، وعندها يُسمى معامل الحد الأول المعامل الرئيس.

مثال محلول خطوة بخطوة

اكتب كثيرة الحدود $5ص - 9 - 2ص^4 - 6ص^3$ بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس فيها. الخطوة 1: أوجد درجة كل حد:

• درجة الحد $5ص$ هي $1$.
• درجة الحد $-9$ هي صفر.
• درجة الحد $-2ص^4$ هي $4$.
• درجة الحد $-6ص^3$ هي $3$. الخطوة 2: اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجاتها: $-2ص^4 - 6ص^3 + 5ص - 9$. إذن، الصورة القياسية هي $-2ص^4 - 6ص^3 + 5ص - 9$، والمعامل الرئيس هو $-2$.

أخطاء شائعة

• إهمال إشارة السالب للحد عند إعادة ترتيب الحدود في الصورة القياسية.
• الاعتقاد بأن درجة الثابت غير الصفرساوي صفراً تساوي عدداً آخر، بينما درجته تساوي صفراً تماماً.
• الخلط بين درجة الحد ودرجة كثيرة الحدود بأكملها، وعدم البحث عن الحد الأبيX (الحد ذي الدرجة الأعلى).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما درجة كثيرة الحدود $2د^3 - 9ج^5د - 7$؟ الإجابة: الدرجة هي $6$ (لأن درجة الحد $-9ج^5د$ هي $5 + 1 = 6$). السؤال الثاني: اكتب كثيرة الحدود $8 - 2س^2 + 4س^4 - 3س$ بالصورة القياسية. الإجابة: $4س^4 - 2س^2 - 3س + 8$.