٤-٥ حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
انظر إلى فقرة لماذا: إذا كان لديك نظام لا يمكنك حذفه مباشرة بالجمع أو الطرح لأن المعاملات ليست متساوية ولا متعاكسة، فما العمل؟ هنا نلجأ للضرب قبل الحذف. انظر إلى مفهوم أساسي: الخطوة الأولى هي ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد ثابت بحيث يصبح أحد المتغيرين معكوساً للآخر. انظر إلى المثال الأول: النظام هو و. لا يمكن الحذف هكذا، فنضرب المعادلة الثانية في لكي تصبح ص معكوسة للأخرى، ثم نجمع فنحذف ص ونجد قيمة س، ثم نعود للتعويض.
يقوم هذا الدرس على فكرة حل نظام من معادلتين خطيتين عندما تكون المعاملات غير متساوية ولا تحذف مباشرة بالجمع أو الطرح العادي. تلجأ هنا إلى ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد ثابت بحيث تصبح معاملات أحد المتغيرات متساوية ومعكوسة في الإشارة، مما يسمح بحذفها بسهولة عند جمع المعادلتين. بعد الحذف، تحل المعادلة الناتجة ذات المتغير الواحد، ثم تعوض بالقيم لإيجاد المتغير الآخر. مثال سريع: لنظام المعادلات (٥س + ٦ص = -٨) و(٢س + ٣ص = -٥)، اضرب المعادلة الثانية في العدد (-٢) لتصبح (-٤س - ٦ص = ١٠)، ثم اجمع المعادلتين ليحذف المتغير ص ويتبقى س = ٢.
الفكرة الأساسية
عندما تحاول حل نظام من معادلتين خطيتين بالجمع أو الطرح، قد تلاحظ أن معاملات المتغيرات لا تقبل الحذف المباشر لأنها ليست متساوية وليست معكوسة في الإشارة. هنا تأتي الحاجة لاستعمال الضرب لتعديل إحدى المعادلتين أو كلتيهما بحيث يظهر حدان متعاكسان يسمحان بحذف أحد المتغيرات.
الشرح
تعتمد طريقة الحذف باستعمال الضرب على خطوات مرتبة. أولا، اضرب إحدى المعادلتين على الأقل في عدد ثابت للحصول على معادلة جديدة فيها حد أحدهما معكوس للآخر مقارنة بالمعادلة الأولى. ثانيا، اجمع المعادلتين أو اطرحهما للتخلص من أحد المتغيرات والحصول على معادلة بمتغير واحد. ثالثا، حل هذه المعادلة البسيطة لإيجاد قيمة المتغير الأول، ثم عوض بهذه القيمة في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد المتغير الثاني واكتب الحل في صورة زوج مرتب.
مثال محلول خطوة بخطوة
حل النظام التالي مستعملا الحذف: ٥س + ٦ص = -٨ ٢س + ٣ص = -٥
الخطوة ١: اضرب المعادلة الثانية في العدد (-٢) لتصبح: -٤س - ٦ص = ١٠
الخطوة ٢: اجمع المعادلة الأولى مع المعادلة الناتجة: ٥س + ٦ص = -٨
- (-٤س - ٦ص = ١٠)
س = ٢ (تم حذف ص بنجاح)
الخطوة ٣: عوض عن قيمة س بـ (٢) في المعادلة الثانية: ٢(٢) + ٣ص = -٥ ٤ + ٣ص = -٥ اطرح ٤ من كلا الطرفين: ٣ص = -٩ اقسم كلا الطرفين على ٣: ص = -٣
إذن الحل هو الزوج المرتب (٢، -٣).
أخطاء شائعة
من الخطأ الشائع ضرب طرف واحد فقط من المعادلة وترك الطرف الآخر دون ضرب في العدد الثابت، مما يخل بتوازن المعادلة. تذكر دائما أن تضرب جميع حدود المعادلة في الطرفين.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: حل النظام التالي باستعمال الحذف: ٦س - ٢ص = ١٠ ٣س - ٧ص = -١٩ الإجابة: الحل هو الزوج المرتب (٢، ١).
السؤال الثاني: حل النظام التالي باستعمال الحذف: ٦س - ٣ص = ٦ ٢س + ٥ص = -١٠ الإجابة: الحل هو الزوج المرتب (٠، -٢).