٣-٥ حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
انظر إلى نظام المعادلات في الأعلى: أ + ب = ١٢، وأ - ب = ٢. فكرة الحذف تعتمد على التخلص من أحد المتغيرين بجمع المعادلتين أو طرحهما. هنا، معامل ب في المعادلة الأولى هو ١ وفي الثانية هو -١، وهما متطابقان ومعكوسان. ابدأ بجمع المعادلتين رأسياً: أ + أ يَعطي ٢أ، وب مع -ب يَعطي صفراً لأنهما حُذفا، و١٢ + ٢ يَعطي ١٤. إذن ٢أ = ١٤، فاقسم الطرفين على ٢ لتجد أ = ٧. بعد ذلك، عوّض عن قيمة أ في إحدى المعادلتين لتجد قيمة ب.
يقوم حل النظام بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح على التخلص من أحد المتغيرين لسهولة إيجاد المتغير الآخر. انظر إلى المعادلتين: ٤س + ٦ص = ٣٢، و٣س - ٦ص = ٣. لاحظ أن معاملي ص هما ٦ و-٦، وهما متعاكسان. إذا جمعت المعادلتين رأسياً، يُحذف المتغير ص مباشرة وتصبح المعادلة: ٧س = ٣٥، بقسمة الطرفين على ٧ تنتج قيمة س = ٥. بعد ذلك، عوّض عن س بقيمة ٥ في إحدى المعادلتين لتجد أن ص = ٢، فيكون الحل هو زوج مرتب (٥، ٢). أما إذا كان المعاملان متساويين تماماً، فنستعمل الطرح بدلاً من الجمع لحذف المتغير المطلوب.
الفكرة الأساسية
تقوم فكرة الحذف على التخلص من أحد المتغيرين في نظام المكون من معادلتين خطيتين، وذلك بإضافتهما معاً أو طرحهما، لكي نسهل إيجاد قيمة المتغير الباقي.
الشرح
لكي تحل نظاماً باستعمال الحذف، انظر أولاً إلى معاملي أحد المتغيرين في المعادلتين:
- اكتب النظام بحيث تكون الحدود المتشابهة بعضها فوق بعض.
- إذا كان معاملا أحد المتغيرين متعاكسين (مثل ٦ص و-٦ص)، فاجمع المعادلتين رأسياً للتخلص منه.
- إذا كان معاملا أحد المتغيرين متساويين تماماً (مثل ٢ت و٢ت)، فاطرح المعادلتين رأسياً للتخلص منه.
- بعد حذف أحد المتغيرين، حل المعادلة البسيطة الناتجة لإيجاد قيمة المتغير الأول.
- عوّض بالقيمة الناتجة في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الثاني، واكتب الحل في النهاية على صورة زوج مرتب.
مثال محلول خطوة بخطوة
حل النظام الآتي: ٤س + ٦ص = ٣٢ ٣س - ٦ص = ٣ الخطوة ١: تأكد أن الحدود المتشابهة فوق بعضها، ولاحظ أن معاملي ص هما ٦ و-٦ وهما متعاكسان. الخطوة ٢: اجمع المعادلتين رأسياً: ٤س + ٦ص = ٣٢ (+) ٣س - ٦ص = ٣
٧س = ٣٥ اقسم كلا الطرفين على ٧، لتجد أن: س = ٥. الخطوة ٣: عوّض عن س بـ ٥ في المعادلة الأولى: ٤(٥) + ٦ص = ٣٢ ٢٠ + ٦ص = ٣٢ اطرح ٢٠ من كلا الطرفين: ٦ص = ١٢ اقسم على ٦، لتجد أن: ص = ٢. إذن الحل هو (٥، ٢).
أخطاء شائعة
- نسيان جمع أو طرح جميع حدود المعادلة الثانية عند إجراء العملية رأسياً.
- الخطأ في إشارة الناتج عند طرح عدد سالب أو موجب.
- عدم كتابة الحل في النهاية على صورة زوج مرتب.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: حل النظام التالي باستعمال الجمع: ٥م - ب = ٧ ٧م - ب = ١١ الإجابة: (٢، ٣)
السؤال الثاني: حل النظام التالي باستعمال الطرح: ر + ٢ت = ٦ ٩ر + ٢ت = ٢٢ الإجابة: (٢، -٧)