٥-٥ تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين
انظر إلى فقرة لماذا في أعلى الصفحة: لو قطعت في طوافك مسافة إجمالية وتعرف أن إحداهما تعادل نصف الأخرى، فإنك تربط بينهما بمعادلة بسيطة. انظر إلى جدول مفهوم أساسي في منتصف الصفحة: يعرض لك الجدول متى تختار كل طريقة لحل النظام. إذا كان أحد المعاملات يساوي واحداً أو سالب واحد، فاستخدم التعويض. وإذا كان المعاملان متعاكسين، فاستخدم الجمع. وإذا كانا متساويين، فاستخدم الطرح. أما إذا لم يكن أي منهما جاهزاً، فاستخدم الضرب لتسهيل الحذف. والطرق الجبرية دائماً أدق من التمثيل البياني.
يقوم هذا الدرس على تحويل المسائل الحياتية واللفظية إلى أنظمة من معادلتين خطيتين، ثم حلها باستعمال الطريقة الأنسب مثل التعويض أو الحذف. يعتمد اختيار الطريقة على شكل المعاملات في النظام؛ فإذا كان أحد المعاملات يساوي ١ أو -١ نستخدم التعويض، وإذا كانت المعاملات متساوية أو متعاكسة نستخدم الحذف بالجمع أو الطرح. كمثال، إذا كان مجموع طولي نوعين من البطاريق ج + ق = ١٦٩، وطول أحدهما يزيد بمقدار ٢٢ على مثلي طول الآخر، فنكتب المعادلة الثانية ج = ٢٢ + ٢ق، ثم نحل النظام بالحذف لنجد أطوال البطاريق بدقة.
الفكرة الأساسية
تحويل المواقف الحياتية والمسائل اللفظية إلى نظام من معادلتين خطيتين، ثم اختيار الطريقة الجبرية الأنسب لحل هذا النظام وتفسير النتائج ضمن سياق المسألة.
الشرح
لكي تحل مسألة حياتية، عليك أولاً تحديد المتغيرين واستخدام رموز مثل س وص للتعبير عنهما. بعد ذلك، تكتب معادلتين تمثلان شروط المسألة. وقبل أن تبدأ بالحل، انظر إلى معاملات المتغيرات لتحديد أفضل طريقة:
- استخدم التعويض إذا كان معامل أحد المتغيرات في إحدى المعادلتين يساوي ١ أو -١.
- استخدم الحذف باستعمال الجمع إذا كان كل من معاملتي أحد المتغيرات معكوسا جمعيا للآخر.
- استخدم الحذف باستعمال الطرح إذا كان معامل أحدهما متساويا في المعادلتين.
- استخدم الحذف باستعمال الضرب إذا لم يكن أي معامل يساوي ١ أو -١ ولم تكن المعاملات متساوية، لتسهيل التخلص من أحد المتغيرات. الطرق الجبرية هي الأفضل لأنها تعطي إجابات دقيقة مقارنة بالتمثيل البياني.
مثال محلول خطوة بخطوة
حل النظام الآتي باختيار أفضل طريقة: ٤س - ٤ص = ٨ -٨س + ص = ١٩
الخطوة الأولى: حدد أفضل طريقة. بما أن معامل ص في المعادلة الثانية يساوي ١، فاستعمل التعويض. الخطوة الثانية: حل المعادلة الثانية بالنسبة إلى ص: -٨س + ص = ١٩ أضف ٨س إلى كلا الطرفين: ص = ١٩ + ٨س
الخطوة الثالثة: عوض عن ص في المعادلة الأولى: ٤س - ٤(١٩ + ٨س) = ٨ ٤س - ٧٦ - ٣٢س = ٨ -٢٨س - ٧٦ = ٨ أضف ٧٦ إلى كلا الطرفين: -٢٨س = ٨٤ اقسم كلا الطرفين على -٢٨: س = -٣
الخطوة الرابعة: عوض عن قيمة س في المعادلة الثانية: -٨(-٣) + ص = ١٩ ٢٤ + ص = ١٩ ص = -٥ إذن حل النظام هو الزوج المرتب (-٣، -٥).
أخطاء شائعة
- نسيان تفسير الحل في سياق المسألة الحياتية بعد إيجاد قيم المتغيرات.
- الخطأ في إشارة الأعداد السالبة عند التعويض أو عند ضرب المعادلة.
- اختيار طريقة غير مناسبة للمعاملات مما يصعب خطوات الحل الجبري.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: حدد أفضل طريقة لحل النظام الآتي ثم حله: ٥س + ٧ص = ٢ -٢س + ٧ص = ٩ الإجابة: أفضل طريقة هي الحذف باستعمال الطرح لأن معامل ص متساو في المعادلتين (٧ و٧). الحل هو س = -١، ص = ١.
السؤال الثاني: اكتب نظاما من معادلتين وحله: تطوع سعيد لمدة ٥٠ ساعة ويخطط ليتطوع ٣ ساعات في كل أسبوع، بينما يخطط سامع ليتطوع ٥ ساعات في كل أسبوع. أوجد عدد الأسبوع الذي يصبح عنده عدد الساعات متساويا. الإجابة: النظام هو: س = ٣ص + ٥٠ س = ٥ص حل النظام: ص = ٢٥، س = ١٢٥. إذن بعد ٢٥ أسبوعا يصبح عدد ساعات التطوع متساويا وهو ١٢٥ ساعة.