٢-٥ حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

حل نظام من معادلتين بالتعويض يعني أن تأخذ قيمة متغير من إحدى المعادلتين، بناء على ما تساويها، وتعوض بها في المعادلة الأخرى ليبقى لديك مجهول واحد فقط يسهل حسابه. فمثلاً لو كان لديك النظام ص = ٢س + ١ و ٣س + ص = -٩، فبما أن ص تساوي ٢س + ١، خذ هذا المقدار وضعه مكان ص في المعادلة الثانية ليصبح لديك ٣س + (٢س + ١) = -٩. اجمع الحدود المتشابهة لتجد أن ٥س + ١ = -٩، ومنها س = -٢. بعد ذلك، ارجع وعوض عن قيمة س في المعادلة الأولى لتجد أن ص = -٣، فيكون الحل هو الزوج المرتب (-٢، -٣). هذه الطريقة توفر عليك رسم الخطين وتمنحك حلاً دقيقاً ومباشراً.

الفكرة الأساسية

حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض يعتمد على استبدال أحد المتغيرين بقيمته المستخرجة من المعادلة الأخرى، لكي تتحول المعادلة إلى متغير واحد يمكن حله بسهولة بدلاً من محاولة حل متغيرين معاً في نفس الوقت.

الشرح

الخطوة الأولى: ابحث عن المعادلة التي يكون فيها أحد المتغيرات مكتوباً لوحده في أحد الطرفين، مثل أن تكون ص وحدها أو س وحدها. وإن لم تكن كذلك، فقم بترتيب إحدى المعادلتين لتجعل أحد المتغيرات في طرف بمفرده. الخطوة الثانية: خذ العبارة أو القيمة التي تساوي ذلك المتغير، وعوض بها مكان نفس المتغير في المعادلة الأخرى. بهذا الشكل تختفي إحدى الحروف وتبقى المعادلة كلها بحرف واحد. الخطوة الثالثة: حل هذه المعادلة ذات المجهول الواحد لتجد قيمته العددية. الخطوة الرابعة: خذ هذه القيمة وعوض بها في أي من المعادلتين الأصليتين لتجد قيمة المجهول الثاني، واكتب الناتج في صورة زوج مرتب ($س$، $ص$).

مثال محلول خطوة بخطوة

استعمل التعويض لحل النظام الآتي: ص = ٢س + ١ ٣س + ص = -٩

الخطوة ١: إحدى المعادلتين مكتوبة أساساً بالنسبة إلى ص، وهي المعادلة الأولى (ص = ٢س + ١). الخطوة ٢: عوض عن ص بالمقدار (٢س + ١) في المعادلة الثانية. تصبح المعادلة الثانية: ٣س + (٢س + ١) = -٩ فك الحواسيب واجمع الحدود المتشابهة: ٥س + ١ = -٩ اطرح ١ من كلا الطرفين: ٥س = -١٠ اقسم على ٥: س = -٢ الخطوة ٣: عوض عن قيمة س بـ (-٢) في المعادلة الأولى لإيجاد ص. ص = ٢(-٢) + ١ ص = -٤ + ١ = -٣ إذن الحل هو الزوج المرتب (-٢، -٣).

أخطاء شائعة

نسيان وضع الأقواس عند التعويض بمقدار مكون من حدين أو أكثر، مما يؤدي إلى أخطاء في إشارة التوزيع أو الجمع. التعويض في نفس المعادلة التي استخرجت منها المتغير، وهذا يجعلك تعود إلى نقطة البداية ولا يحل لك المسألة. عدم إيجاد المتغير الثاني والاكتفاء بإيجاد المتغير الأول والوقف عند ذلك.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل النظام الآتي باستخدام التعويض: ص = ٤س - ٦ ٥س + ٣ص = -١ الإجابة: (١، -٢)

السؤال الثاني: حل النظام الآتي باستخدام التعويض: س + ٢ص = ٦ ٣س - ٤ص = ٢٨ الإجابة: (٨، -١)