١-٥ حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا

حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا يعني تمثيل كل معادلة على المستوى الاحداثي نفسه والبحث عن نقطة التقاطع بين المستقيمين. اذا تقاطع المستقيمان في نقطة واحدة فللنظام حل واحد ويسمى متسقا ومستقلا. اما اذا كان المستقيمان متوازيين فلا يوجد حل ويسمى النظام غير متسق. واذا انطبقا فوق بعضهما فعدد الحلول نهائي ويسمى متسقا وغير مستقل. لنفترض ان لدينا معادلتي تكلفة منتج وقيمة مبيعات، فان نقطة تقاطع مستقيميهما تمثل نقطة التعادل التي يتساوى فيها الدخل مع التكلفة ويبدأ عندها الربح بالتحقق.

الفكرة الأساسية

حل نظام مكون من معادلتين خطيتين بيانيا يقوم على تمثيل كل معادلة على المستوى الاحداثي نفسه، ثم ايجاد نقطة التقاطع بين المستقيمين التي تمثل الحل المشترك للمعادلتين.

الشرح

عندما ترسم مستقيمين على المستوى الاحداثي، فانك امام ثلاث حالات ممكنة لتقاطعهما:

• الحالة الاولى: ان يتقاطع المستقيمان في نقطة واحدة، وعندها يكون للنظام حل واحد فقط، ويسمى النظام متسقا ومستقلا.
• الحالة الثانية: ان ينطبق المستقيمان تماما فوق بعضهما، مما يعني وجود عدد لا نهائي من نقاط التقاطع وعدد لا نهائي من الحلول، ويسمى النظام متسقا وغير مستقل.
• الحالة الثالثة: ان يكون المستقيمان متوازيين ولا يتقاطعان ابدا، وفي هذه الحالة لا يوجد حل للنظام، ويسمى النظام غير متسق. يمكن تحديد عدد الحلول ومسميات النظام مباشرة من خلال مقارنة الميل والمقطع الصادي لكل معادلة عندما تكون مكتوبة على الصورة $ص = م س + ب$. اذا اختلفت قيمتا الميل فلكل نظام حل واحد. واذا تساوى الميل واختلف المقطع الصادي فلا يوجد حل لان المستقيمين متوازيان. واذا تساوى الميل والمقطع الصادي معا فالقيم متطابقة وعدد الحلول لا نهائي.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل كل نظام مما يأتي بيانيا واوجد عدد حلوله، وإن كان واحدا فاكتبه: $ص = -٣ س + ١٠$ $ص = س - ٢$ الخطوة الأولى: مثل المعادلة الاولى $ص = -٣ س + ١٠$ برسم مقطع الصادات عند القيراط ١٠ ثم التحرك بميل مقدارة سالب ٣. الخطوة الثانية: مثل المعادلة الثانية $ص = س - ٢$ برسم مقطع الصادات عند سالب ٢ ثم التحرك بميل مقداره واحد. الخطوة الثالثة: انظر إلى نقطة تقاطع المستقيمين على المستوى الاحداثي، وسترى انهما يتقاطعان في النقطة $(٣، ١)$. الخطوة الرابعة: تحقق من صحة الحل بالتعويض عن س بـ ٣ وعن ص بـ ١ في المعادلتين: في المعادلة الأولى: $١ = -٣ (٣) + ١٠$ وهذا يعطي $١ = -٩ + ١٠$ أي $١ = ١$ وهي عبارة صحيحة. في المعادلة الثانية: $١ = ٣ - ٢$ أي $١ = ١$ وهي عبارة صحيحة ايضا. اذن حل النظام هو النقطة $(٣، ١)$، والنظام متسق ومستقل.

أخطاء شائعة

• رسم المستقيم بشكل غير دقيق لعدم استخدام مسطرة أو عدم تعيين نقاط كافية لتحديد الميل بدقة.
• الخلط بين مسميات الأنظمة، مثل وصف النظام المتسق والمستقل بأنه غير متسق رغم وجود نقطة تقاطع.
• قراءة الإحداثيات بعكس الترتيب، حيث يكتب الطالب الإحداثي الصادي قبل السيني في الزوج المرتب بدلا من $(س، ص)$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: استعمل التمثيل البياني لتحدد ما إذا كان النظام الآتي متسقا أم غير متسق، ومستقلا أم غير مستقل: $ص = ٢ س + ٣$ $ص = -٢ س + ٣$ الإجابة: بما أن الميلين مختلفان (٢ و سالب ٢)، فإن المستقيمين يتقاطعان في نقطة واحدة، إذن للنظام حل واحد، والنظام متسق ومستقل. السؤال الثاني: مثل النظام الآتي بيانيا وأوجد عدد حلوله: $ص = س + ٤$ $ص = -س - ٤$ الإجابة: المستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة هي $(-٤، ٠)، إذن للنظام حل واحد وهو$(-٤، ٠)$، ويسمى النظام متسقا ومستقلا.