٥-٤ حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة

تقوم فكرة حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة على تحويل المتباينة ذات الرمز إلى متباينتين مركبتين لحلها بناء على اتجاه علامة التباين. إذا كانت العلامة أصغر من، فتتحول إلى متباينة مركبة تتضمن (و) وتقاطع الحلين، بينما إذا كانت العلامة أكبر من، فتتحول إلى متباينة مركبة تتضمن (أو) واتحاد الحلين. لمعرفة ذلك، نأخذ حالتين للعبارة داخل القيمة المطلقة: الأولى تكون فيها العبارة غير سالبة، والثانية تكون سالبة مع عكس اتجاه علامة التباين أو ضربها في سالب. مثال ذلك حل المتباينة $|م + ٢| > ١١$ حيث تنقسم إلى حالتين: $م + ٢ > ١١$ أو $-(م + ٢) > ١١$ لتصبح مجموعة الحل هي المجموعتان معاً.

الفكرة الأساسية

تقوم فكرة حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة على إعادة كتابتها بدون رمز القيمة المطلقة وتحويلها إلى متباينتين مركبتين؛ إحداهما تفترض أن ما داخل القيمة المطلقة غير سالب، والأخرى تفترض أنه سالب. يعتمد شكل الحل على علامة التباين، فإذا كانت العلامة أكبر من (>) فتكون مجموعة الحل عبارة عن اتحاد حالتين وتترجم بكلمة (أو)، بينما إذا كانت العلامة أصغر من (<) فتكون مجموعة الحل عبارة عن تقاطع حالتين وتترجم بكلمة (و).

الشرح

عندما تواجه متباينة تحتوي على قيمة مطلقة مثل $|س| > ٣$ فهذا يعني أن المسافة بين س والصفر أكبر من ٣، مما يقودنا إلى حلين هما $س > ٣$ أو $س < -٣$. وعند الحل، عليك دائماً كتابة حالتين:

• الحالة الأولى: أن تكون العبارة داخل رمز القيمة المطلقة كما هي بدون تغيير (غير سالبة).
• الحالة الثانية: أن تأخذ العبارة سالبة، أو بمعنى أصح أن تضع إشارة السالب خارج القوس أو تعكس إشارة المتباينة بحسب أصول الحل. تذكر أن القيمة المطلقة لكمية حقيقية لا يمكن أن تكون سالبة أبداً، فلو ظهر لك أن قيمة مطلقة أقل من عدد سالب مثل $|س - ١| < -٢$ فهذا مستحيل، وبالتالي لا يوجد حل وتكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المتباينة $|٣ن + ٦| ≤ ١٢$ وتمثيل مجموعة الحل بيانيا.

• الخطوة الأولى: بما أن العلامة أصغر من أو تساوي ($≤$)، إذن سنحصل على متباينة مركبة تتضمن (و). نكتب الحالتين:
• الحالة الأولى (موجبة): $٣ن + ٦ ≤ ١٢$
• الحالة الثانية (سالبة): $-(٣ن + ٦) ≤ ١٢$
• الخطوة الثانية: حل الحالة الأولى بطرح ٦ من الطرفين ثم القسمة على ٣:
• $٣ن + ٦ - ٦ ≤ ١٢ - ٦$
• $٣ن ≤ ٦$
• $ن ≤ ٢$
• الخطوة الثالثة: حل الحالة الثانية بفك النيابة أو ضرب الطرفين في سالب مع عكس اتجاه المتباينة:
• $-٣ن - ٦ ≤ ١٢$
• $-٣ن ≤ ١٢ + ٦$
• $-٣ن ≤ ١٨$
• بالقسمة على عدد سالب نعكس العلامة: $ن ≥ -٦$
• الخطوة الرابعة: دمج الحلين لأنها متباينة (و)، فتكون مجموعة الحل هي: {$ن | ن ≤ ٢$ أو $ن ≥ -٦$}.

أخطاء شائعة

• نسيان عكس اتجاه علامة التباين عند ضرب أو قسمة طرفي المتباينة في عدد سالب في الحالة الثانية.
• الخلط بين ربط الححلين بكلمة (و) وكلمة (أو)؛ حيث ترتبط علامة الأكبر بـ (أو) وعلامة الأصغر بـ (و).
• محاولة حل متباينة قيمة مطلقة أقل من عدد سالب على أنها تحتوي حلولاً، متجاهلين أن القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبداً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

• السؤال الأول: حل المتباينة $|أ - ٢| ≤ ٨$
• الإجابة: الحل هو المتباينة المركبة $-٦ ≤ أ ≥ ١٠$ ومجموعة الحل {$أ | -٦ ≤ أ ≥ ١٠$}.
• السؤال الثاني: حل المتباينة $|ج + ٢| > -٢$
• الإجابة: بما أن القيمة المطلقة أكبر من عدد سالب دائماً، فإن مجموعة الحل هي مجموعة الأعداد الحقيقية جميعها.