٢-٤ حل المتباينات بالضرب أو القسمة

يقوم هذا الدرس على فكرة إيجاد قيم المتغير في المتباينات باستخدام الضرب أو القسمة مثل المعادلات تماماً، مع قاعدة ذهبية وحيدة ومهمة: إذا ضربت طرفي المتباينة أو قسمتهما على عدد سالب، فيجب عليك دائماً تغيير اتجاه إشارة المتباينة لتبقى صحيحة، بينما تبقى الإشارة كما هي إذا كان العدد موجباً. مثال سريع: لحل المتباينة -rac{3}{5} r > 21 نضرب طرفي المتباينة في النظير الضربي -rac{5}{3} ونغير اتجاه إشارة المتباينة لنحصل على $r < -49$.

الفكرة الأساسية

حل المتباينات بالضرب أو القسمة يشبه تماماً حل المعادلات الخطية التي درستها سابقاً، بهدف عزل المتغير في طرف لوحده. القاعدة الأهم هنا هي الانتباه لعلامة العدد الذي تضرب فيه أو تقسم عليه طرفي المتباينة.

الشرح

عندما تضرب أو تقسم كلا طرفي المتباينة في عدد موجّب، فإن إشارة المتباينة تبقى كما هي دون أي تغيير. أما القاعدة الذهبية التي يجب أن تتذكرها دائماً فهي أنه إذا ضربت أو قسمت كلا طرفي المتباينة في عدد سالب، فيجب عليك تغيير اتجاه إشارة المتباينة لكي تبقى العبارة الرياضية صحيحة.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المتباينة -rac{3}{5} r > 21 الخطوة الأولى: اكتب المتباينة الأصلية وهي -rac{3}{5} r > 21. الخطوة الثانية: تخلص من الكسر المضروب في المتغير $r$ بضرب كلا طرفي المتباينة في مقلوبه وهو -rac{5}{3}. الخطوة الثالثة: بما أننا ضربنا في عدد سالب، نغير اتجاه إشارة المتباينة من (>) إلى (<). الخطوة الرابعة: بسط الطرفين ليصبح الناتج $r < -49$. إذن مجموعة الحل هي: $\{ r \mid r < -49 \}$.

أخطاء شائعة

من أكثر الأخطاء شيوعاً نسيان تغيير اتجاه إشارة المتباينة عند الضرب أو القسمة في عدد سالب، حيث يقوم بعض الطلاب بترك الإشارة كما هي متجاهلين أن القسمة أو الضرب في عدد سالب تعكس الترتيب بين الأعداد.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المتباينة rac{1}{3} n > 30. الإجابة: اضرب كلا الطرفين في العدد 3 لتبقى الإشارة كما هي لأن العدد موجب، فيكون الناتج $n > 90$. السؤال الثاني: حل المتباينة $-7v \ge 147$. الإجابة: اقسم كلا الطرفين على العدد سالب 7، وغير اتجاه إشارة المتباينة لتصبح ( $\le$ ) لأننا قسمنا على عدد سالب، فيكون الناتج $v \le -21$.