٤-٣ المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة

يقوم هذا الدرس على ربط ميل الخط المستقيم بتوازي المستقيمات أو تعامدها. المستقيمان المتوازيان هما مستقيمان في المستوى نفسه لا يتقاطعان أبداً، ويكون لهما الميل نفسه. أما المستقيمان المتعامدان فهما مستقيمان يتقاطعان مكونين زوايا قائمة، ويكون ميل كل منهما معكوس مقلوب الآخر، أو يكون حاصل ضرب ميليهما مساوياً لـ $-1$. يمكنك استعمال هذه القاعدة لكتابة معادلة مستقيم يوازي أو يعامد مستقيماً معلوماً ويمر بنقطة معينة؛ فإذا طلب منك موازاة مستقيم، تستخدم نفس ميله، وإذا طلب تعامده، تأخذ مقلوب ميله مع عكس اشارته، ثم تعوض في صيغة الميل والنقطة.

الفكرة الأساسية

تعتمد فكرة الدرس على دراسة العلاقة بين ميلي مستقيمين لتحديد ما إذا كانا متوازيين أو متعامدين، واستخدام هذه الميول لكتابة معادلات مستقيمات جديدة توازي أو تعامد مستقيمات معلومة.

الشرح

انظر إلى أي مستقيمين في المستوى. إذا كان المستقيمان متوازيين، فهما لا يتقاطعان أبداً، وميلهما متساوٍ تماماً. أما إذا تقاطع المستقيمان وكونا زوايا قائمة، فهما متعامدان، وهنا تكون العلاقة بين ميليهما مختلفة؛ فميل كل منهما هو معكوس مقلوب الآخر، وحاصل ضرب ميليهما معا يساوي $-1$. لمعرفة ما إذا كان مستقيمان متعامدين، اوجد ميل كل منهما واضربهما في بعضهما؛ إن كانت النتيجة $-1$ فهما متعامدان.

مثال محلول خطوة بخطوة

اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة $(-4, 6)$ والمعامد للمستقيم $2 س + 3 ص = 12$. الخطوة 1: أوجد ميل المستقيم المعطى بايجاد قيمة ص. نبدأ بالمعادلة الأصلية $2 س + 3 ص = 12$. نطرح $2 س$ من كلا الطرفين لنحصل على $3 ص = -2 س + 12$. نقسم كل طرف على $3$ ليكون الناتج ص $= -\frac{2}{3} س + 4$. إذن الميل هو $-\frac{2}{3}$. الخطوة 2: ميل المستقيم المعامد للمستقيم المعطى هو معكوس مقلوب العدد $-\frac{2}{3}$؛ أي $\frac{3}{2}$. الآن أوجد معادلة المستقيم العمودي باستخدام صيغة الميل والنقطة ص $-$ ص $1 = م (س - س 1)$ مع النقطة $(-4, 6)$ والميل $\frac{3}{2}$. نعوض فيكون ص $- 6 = \frac{3}{2} [س - (-4)]$. نبسط داخل القوس لنحصل على ص $- 6 = \frac{3}{2} (س + 4)$. نطبق خاصية التوزيع ونضيف $6$ إلى كل طرف لنجد في النهاية أن معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي ص $= \frac{3}{2} س + 12$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع عند إيجاد ميل المستقيم المعامد نسيان تغيير الاشارة والاكتفاء بقلب الكسر فقط. عند تعامد المستقيمين، يجب قلب الكسر وتغيير إشارته من موجب إلى سالب أو العكس. خطأ آخر يحدث عند استخدام صيغة الميل والنقطة حيث يخطئ البعض في إشارة طرح الإحداثيات عند التعويض بالنقطة المعطاة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة $(4, -1)$ والموازي للمستقيم ص $= \frac{1}{2} س + 7$. الإجابة: ص $= \frac{1}{2} س - 3$. السؤال الثاني: حدد ما إذا كان المستقيمان ص $= -6 س + 4$ و ص $= \frac{1}{6} س$ متوازيين أم متعامدين أم غير ذلك، وفسر إجابتك. الإجابة: متعامدان؛ لأن ميل المستقيم الأول هو $-6$ وميل المستقيم الثاني هو $\frac{1}{6}$، وحاصل ضربهما $(-6) \times \frac{1}{6} = -1$.