٣-٣ كتابة المعادلات بصيغة الميل ونقطة
انظر إلى فقرة لماذا في أعلى الصفحة. لو تتبعنا أعداد المشاركين في المسابقة نجدها تزيد بمعدل ثابت كل عام، ومثل هذه المواقف يمكن تمثيلها بمعادلة. صيغة الميل ونقطة هي وسيلة لكتابة معادلة المستقيم إذا علمنا ميله ونقطة يمر بها. الصيغة هي . في المثال الأول، اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة وميله بصيغة الميل ونقطة ثم مثلها بيانيا. نعوض عن الميل ومساقط النقطة في الصيغة، فنحصل على . بعد تبسيط الإشارة تصبح . للتمثيل البياني، عين النقطة المعطاة، واستعمل الميل للوصول إلى نقطة أخرى على المستقيم.
يقوم هذا الدرس على فكرة كتابة معادلة الخط المستقيم عندما نعرف ميله ونقطة يمر بها، أو عندما نعرف نقطتين عليه. القاعدة الأساسية تعتمد على صيغة الميل ونقطة وهي ص - ص_١ = م (س - س_١)، حيث م هو الميل و (س_١، ص_١) هي النقطة المعطاة. فمثلاً، إذا كان الميل يساوي \frac{1}{2} والنقطة هي (٣، -٢)، فإننا نعوض مباشرة في الصيغة فنكتب ص - (-٢) = \frac{1}{2} (س - ٣)، ثم نبسطها لتصبح ص + ٢ = \frac{1}{2} (س - ٣). تعلمنا هذه الصيغة كيف نتحول بين أشكال المعادلات المختلفة مثل الصورة القياسية وصيغة الميل والمقطع بكل سهولة.
الفكرة الأساسية
يتيح لك هذا الدرس كتابة معادلة أي خط مستقيم إذا علمت ميله ونقطة يمر بها، أو إذا علمت نقطتين عليه. تعتمد الفكرة على استخدام صيغة الميل ونقطة لربط إحداثيات أي نقطة على المستقيم بميله وبنقطة معلومة.
الشرح
عندما يطلب منك كتابة معادلة مستقيم ولديك ميله م ونقطة معطاة (س_١، ص_١)، استعمل صيغة الميل ونقطة وهي: ص - ص_١ = م (س - س_١). كل ما تحتاجه هو التعويض بقيمة الميل ومكان س_١ وص_١ بإحداثيات النقطة المعطاة. أما إذا أعطاك نقطتين ولم يعطك الميل، فابدأ أولاً بحساب الميل باستخدام قانون الميل بين نقطتين، ثم اختر إحدى النقطتين وطبق صيغة الميل ونقطة.
مثال محلول خطوة بخطوة
اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (٣، -٢) وميله \frac{1}{2} بصيغة الميل ونقطة، ثم مثلها بيانيا. الخطوة ١: اكتب صيغة الميل ونقطة: ص - ص_١ = م (س - س_١). الخطوة ٢: عوض عن الميل ومكانه \frac{1}{2} وعن النقطة (٣، -٢)، لتصبح المعادلة: ص - (-٢) = \frac{1}{2} (س - ٣). الخطوة ٣: بسط المعادلة لتصبح: ص + ٢ = \frac{1}{2} (س - ٣). الخطوة ٤: للتمثيل البياني، عين النقطة (٣، -٢) على المستوي الإحداثي، واستعمل الميل للوصول إلى نقطة أخرى، ثم صل بينهما بخط مستقيم.
أخطاء شائعة
الخطأ الأول هو نسيان عكس إشارات إحداثيات النقطة عند التعويض في الصيغة بسبب وجود إشارة السالب الأصلية مثل ص - (-٢)، فكثير من الطلاب يكتبونها ص - ٢ خطأ. الخطأ الثاني هو الخلط بين ترتيب إحداثيات السينات والصادات في التعويض.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (-٢، ١) وميله -٦ بصيغة الميل ونقطة. الإجابة: ص - ١ = -٦ (س - (-٢)) والتي تؤول إلى ص - ١ = -٦ (س + ٢). السؤال الثاني: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (٥، ٣) وميله ٧ بصيغة الميل ونقطة. الإجابة: ص - ٣ = ٧ (س - ٥).