٢-٣ كتابة المعادلات بصيغة الميل والمقطع
انظر إلى أعلى الصفحة، نبدأ اليوم فصل جديداً عن كتابة معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع ص = م س + ب. انزل إلى المثال الأول، يطلب منا كتابة معادلة مستقيم ميله ٣ ويمر بالنقطة (٢، ١). المعلومة الناقصة هنا هي المقطع الصادي ب. للوصول إليه، نعوض بالنقطة والميل في الصيغة العامة هكذا: ١ = (٣)(٢) + ب. اضرب ٣ في ٢ لتحصل على ٦، ثم اطرح ٦ من الطرفين لتجد أن ب تساوي . بعد معرفة الميل والمقطع، اكتب المعادلة النهائية بتعويضهما لتصبح ص = ٣س . في فقرة تحقق من فهمك، كرر نفس الخطوات تماماً مع نقطة وميل جديدين.
يعتمد هذا الدرس على كتابة معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع ص = م س + ب عندما يُعطى ميل المستقيم ونقطة يمر بها، أو عندما يُعطى نقطتين يمر بهما المستقيم. تعتمد الفكرة على إيجاد الميل أولاً إذا لم يكن معطى باستخدام قانون الميل، ثم التعويض بالميل وإحداثيي أي نقطة في صيغة الميل والمقطع لإيجاد المقطع الصادي ب، وأخيراً كتابة المعادلة النهائية. تسمى عملية استعمال المعادلات الخطية لإجراء تنبؤات حول القيم التي تتجاوز مدى البيانات بالتنبؤ الخطي. مثال: كتابة معادلة مستقيم ميله ٣ ويه مر بالنقطة (١، ٢)، نبدأ بالتعويض في الصيغة لنحصل على ٢ = ٣(١) + ب، ومنها ب = -٥، فتكون المعادلة هي ص = ٣س - ٥.
الفكرة الأساسية
تعتمد فكرة الدرس على كيفية كتابة معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع ص = م س + ب، وذلك عند توفر معلومات كافية مثل ميل المستقيم ونقطة يمر بها، أو نقطتين يمر بهما. كما تمتد الفكرة لاستخدام هذه المعادلات في التنبؤ الخطي لتقدير قيم جديدة تتجاوز البيانات المعطاة.
الشرح
لكتابة معادلة مستقيم، تحتاج إلى معرفة أمرين أساسيين: الميل (م) والمقطع الصادي (ب). إذا أُعطيت الميل ونقطة واحدة، فعليك التعويض بقيمة الميل والإحداثيين س وص للنقطة في صيغة الميل والمقطع ص = م س + ب لإيجاد المقطع الصادي (ب) أولاً، ثم كتابة المعادلة النهائية. أما إذا أُعطيت نقطتين فقط، فلا بد أولاً من حساب الميل (م) باستخدام قانون الميل، ثم اختيار أي من النقطتين وتطبيق نفس خطوة إيجاد المقطع الصادي (ب)، وأخيراً كتابة المعادلة.
مثال محلول خطوة بخطوة
اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (١، ٢) وميله ٣. الخطوة ١: أوجد المقطع الصادي. اكتب صيغة الميل والمقطع ص = م س + ب، وعوّض عن م بـ ٣، وعن ص بـ ٢، وعن س بـ ١، ليصبح الناتج ٢ = ٣(١) + ب. بالبسيط تصبح ٢ = ٣ + ب. اطرح ٣ من كل طرف لتجد أن ب = -٥. الخطوة ٢: اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع بالتعويض عن م بـ ٣ وعن ب بـ -٥، لتكون المعادلة النهائية هي ص = ٣س - ٥.
أخطاء شائعة
الخطأ الأكثر شيوعاً هو نسيان إشارة السالب عند التعويض بإحداثيات النقاط السالبة في قانون الميل أو في صيغة الميل والمقطع، أو الخلط بين ترتيب إحداثيات س وص عند التعويض.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (-٢، ٥) وميله ٤. الإجابة: ص = ٤س + ١٣. السؤال الثاني: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين (١، ٣) و(٢، -٤). الإجابة: ص = -٥س + ٨.