١-٣ تمثيل المعادلات المكتوبة بصيغة الميل والمقطع بيانيًا
انظر إلى فكرة مسابقة الشعر أعلى الصفحة. لو حفظ جميل خمس مئة بيت، وبدأ يحفظ ثلاثين بيتا كل شهر، فبعد شهر تصبح الأبيات خمس مئة وثلاثين. هذه العلاقة نكتبها على صورة معادلة خطية تسمى صيغة الميل والمقطع وهي . هنا حرف م يمثل الميل وحرف ب يمثل المقطع الصادي. في المثال الأول، اكتب معادلة المستقيم الذي ميله ومقطعه الصادي . نعوض عن م وعن ب لنحصل على . لتمثيلها بيانيا، نبدأ من نقطة المقطع الصادي على محور الصادات، ثم نتحرك ثلاث وحدات للأعلى وأربع وحدات للويمين حسب الميل، ونصل بين النقطتين.
يقوم هذا الدرس على فكرة أساسية وهي كتابة المعادلات الخطية وتمثيلها بيانيا باستخدام صيغة الميل والمقطع ص = م س + ب، حيث م يمثل الميل وب يمثل المقطع الصادي. لنفترض أنك تريد تمثيل المعادلة ص = 3/4 س - 2 بيانيا، أولا حدد المقطع الصادي على محور الصادات عند النقطة (0، -2)، ثم استخدم الميل الذي يمثل التغير الراسي على التغير الأفقي للانتقال من هذه النقطة إلى نقطة أخرى، حيث تتحرك 3 وحدات إلى الأعلى و4 وحدات إلى اليمين لتحديد النقطة الجديدة ثم ترسم خط مستقيم يمر بهاتين النقطتين. بهذه الطريقة البسطة يمكنك تمثيل أي معادلة خطية بكل سهولة وسرعة دون الحاجة إلى تكوين جدول قيم طويل.
الفكرة الأساسية
تعتمد فكرة الدرس على استخدام صيغة الميل والمقطع لكتابة المعادلات الخطية وتمثيلها بيانيا بكل سهولة وسرعة دون الحاجة إلى تكوين جدول قيم طويل، حيث تكشف المعادلة مباشرة عن نقطة بداية الخط واتجاه ميله.
الشرح
صيغة الميل والمقطع للمعادلة الخطية هي ص = م س + ب، حيث م هو الميل وب هو المقطع الصادي. لتمثيل أي معادلة بهذه الصيغة بيانيا، تبدأ بتعيين المقطع الصادي ب على محور الصادات كمطهر أو نقطة بداية. بعد ذلك، تستخدم الميل م على شكل كسر يمثل التغير الراسي إلى التغير الأفقي؛ فالعدد في البسط يحدد حركة التحرك للأعلى إن كان موجبا أو للأسفل إن كان سالبا، والعدد في المقام يحدد حركة التحرك لليمين إن كان موجبا أو لليسار إن كان سالبا، لتحديد نقطة ثانية، ثم تصل بين النقطتين بخط مستقيم.
مثال محلول خطوة بخطوة
مثل المعادلة ص = 3/4 س - 2 بيانيا. الخطوة 1: عين المقطع الصادي الذي يساوي -2 على محور الصادات، وتكون النقطة هي (0، -2). الخطوة 2: استخدم الميل الذي يساوي الكسر 3/4، فتحرك من النقطة (0، -2) بمقدار 3 وحدات إلى الأعلى في الاتجاه الراسي، و4 وحدات إلى اليمين في الاتجاه الأفقي، وعين النقطة الجديدة. الخطوة 3: ارسم خطا مستقيما يمر بهاتين النقطتين.
أخطاء شائعة
- الخلط بين إشارات الحركة الأفقية والرأسية للميل، مثل التحرك لليسار عندما يكون المقام موجبا.
- البدء بتعيين المقطع الصادي على محور السينات خطأ، والصواب أنه يقع دائما على محور الصادات.
- نسيان ترتيب المعادلة على صورة ص = م س + ب قبل محاولة قراءة الميل والمقطع الصادي.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اكتب معادلة المستقيم الذي ميله 2 ومقطعه الصادي -1 بصيغة الميل والمقطع، ثم مثلها بيانيا. الإجابة: ص = 2س - 1. السؤال الثاني: مثل المعادلة ص = -3 بيانيا. الإجابة: عين المقطع الصادي عند النقطة (0، -3)، ثم ارسم خطا أفقيا يمر بهذه النقطة لأن الميل يساوي صفرا.