٦-٢ المتتابعات الحسابية كدوال خطية
انظر إلى جدول سباق الجري: المسافة تزيد بانتظام وكذلك الزمن يزيد بمقدار دقيقة و٣٢ ثانية في كل مرة. عندما يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتاً، تسمى هذه المتتابعة متتابعة حسابية، ويسمى ذلك الفرق أساس المتتابعة ويرمز إليه بالحرف . انظر إلى أمثلة المفهوم الأساسي، ففي المثال الأول تنقص الأعداد بمقدار ٤ إذن أساس المتتابعة ، وفي المثال الثاني تزيد الأعداد بمقدار ٢ إذن أساس المتتابعة . النقاط الثلاث تدل على أن المتتابعة مستمرة بلا توقف.
المتتابعة الحسابية هي مجموعة مرتبة من الأعداد يزيد أو ينقص كل عدد فيها بمقدار ثابت يسمى أساس المتتابعة ويزمى بالرمز د. ترتبط هذه المتتابعات بالدوال الخطية حيث يمثل ترتيب الحد المتغير المستقل ن ويمثل أساس المتتابعة الميل. يمكنك كتابة معادلة الحد النوني للمتتابعة على الصورة أ_ن = أ_١ + (ن - ١)د ومن ثم إيجاد أي حد تريده أو تمثيل المتتابعة بيانيا مثل المتتابعة -١٢، -٨، -٤ التي أساسها ٤ ومعادلتها أ_ن = ٤ن - ١٦.
الفكرة الأساسية
المتتابعة الحسابية هي نمط عددي تتزايد أو تتناقص حدوده بمقدار ثابت يسمى أساس المتتابعة ويرمز إليه بالرمز د. ترتبط هذه المتتابعات بالدوال الخطية ارتباطا وثيقا بحيث يمكن كتابة معادلة الحد النوني لها واستخدامها للتنبؤ بأي حد وقيمته وتمثيلها بيانيا على شكل نقاط تقع على خط مستقيم.
الشرح
انظر إلى النمط العددي، فإذا كان الفرق بين كل حد والحد الذي يليه ثابتا، فهذه متتابعة حسابية. يسمى هذا الثابت أساس المتتابعة (د). إذا كان متزايدا فالأساس موجب، وإن كان متناقصا فالأساس سالب. لحساب أي حد نوني في المتتابعة، نستخدم الصيغة العامة: أ_ن = أ_١ + (ن - ١)د حيث أ_١ هو الحد الأول، ود هو الأساس، ون هو ترتيب الحد.
مثال محلول خطوة بخطوة
أكتب معادلة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: -١٢، -٨، -٤،... ثم أوجد الحد التاسع. الخطوة ١: أوجد الأساس بطرح كل حد من الذي يليه أو بالنظر للفرق بين -١٢ و -٨ فتجد أن الزيادة هي ٤، إذن الأساس د = ٤. الخطوة ٢: اكتب المعادلة بالتعويض في الصيغة العامة. أ_ن = أ_١ + (ن - ١)د أ_ن = -١٢ + (ن - ١)٤ وزع الأربعة داخل القوس: أ_ن = -١٢ + ٤ن - ٤ بسط المعادلة بجمع المتشابهات: أ_ن = ٤ن - ١٦ الخطوة ٣: لإيجاد الحد التاسع، عوض عن ن بالرقم ٩ في المعادلة الناتجة. أ_٩ = ٤(٩) - ١٦ أ_٩ = ٣٦ - ١٦ أ_٩ = ٢٠.
أخطاء شائعة
من الأخطاء المتكررة طرح الحد الأول من الثاني بطريقة خاطئة أو نسيان إشارة السالب عند التعامل مع الأعداد السالبة مثل -١٢، تأكد دائما من أن الفرق ثابت لجميع الحدود المتتالية قبل الحكم بأنها متتابعة حسابية.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: أوجد الحدود الثلاثة التالية في المتتابعة الحسابية: ٣، ٦، ٩، ١٢،... الإجابة: الحدود الثلاثة هي ١٥، ١٨، ٢١ (لأن الأساس هو ٣). السؤال الثاني: اكتب معادلة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: -٣، -١٠، -١٧، -٢٣،... الإجابة: أ_ن = -٧ن + ٤.