٥-٢ معدل التغير والميل

يقوم هذا الدرس على فكرة قياس نسبة تغير كمية بالنسبة لتغير كمية أخرى، وهو ما يُعرف بمعدل التغير، ويقيس مدى انحدار الخط المستقيم ويُعرف بالميل. يعتمد معدل التغير على قسمة التغير في المتغير التابع ص على التغير في المتغير المستقل س. فإذا كانت التكلفة تزيد بمقدار ٧٨ ريالاً لكل لعبتي حاسوب، فإن معدل التغير يُحسب بقسمة ٧٨ على ٢ ليساوي ٣٩ ريالاً لكل لعبة. أما ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين $(س_١، ص_١)$ و$(س_٢، ص_٢)$ فيُحسب بقسمة فرق الصادات على فرق السينات باستخدام الصيغة م = rac{ص_٢ - ص_١}{س_٢ - س_١}. ويتنوع الميل بين موجب وسالب وصفر وغير معرف بحسب اتجاه الخط.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على ربط كميتين إحداهما تتبع الأخرى لمعرفة مقدار التغير بينهما، مثل معرفة ثمن الألعاب بالنسبة لعددها أو نمو المسافة بالنسبة للزمن. وإذا كان التغير ثابتاً على طول التمثيل البياني أو الجدول، فهذه دالة خطية، ويمكن قياس ميلها بوصفه نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي.

الشرح

نبدأ بمعدل التغير، وهو نسبة تغير كمية بالنسبة لتغير كمية أخرى. إذا كانت س هي المتغير المستقل، وص هي المتغير التابع، فإن معدل التغير يحسب بالصيغة: معدل التغير = rac{ ext{التغير في ص}}{ ext{التغير في س}}. فإذا انتقلنا إلى الجدول ووجدنا أن التكلفة لعدد من الألعاب تتغير بثبات، فإن معدل التغير يبقى ثابتاً، وهذا يدل على أن الدالة خطية. أما إذا تفاوتت مقادير التغير، فالدالة ليست خطية.

ننتقل بعد ذلك إلى الميل. ميل المستقيم غير الراسي هو نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي، أو بعبارة أخرى: فرق الصادات مقسوماً على فرق السينات. لإيجاد ميل المستقيم المار بالنقطتين $(س_١، ص_١)$ و$(س_٢، ص_٢)$ نستخدم الصيغة: م = rac{ص_٢ - ص_١}{س_٢ - س_١}. لهذا الميل حالات أربع: الميل الموجب ويكون فيه المستقيم متجهاً للأعلى عند التحرك من اليسار إلى اليمين، والميل السالب ويكون فيه متجهاً للأسفل، وميل الصفر ويكون لخط أفقي، وميل غير معرف ويكون لخط رأسي.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين $( -٢، ٠ )$ و$( ٥، ١ )$. الخطوة الأولى: حدد قيم المتغيرات للنقطتين بحسب الصيغة. ليكن $(س_١، ص_١) = (-٢، ٠)$ وليكن $(س_٢، ص_٢) = (٥، ١)$. الخطوة الثانية: اكتب صيغة الميل: م = rac{ص_٢ - ص_١}{س_٢ - س_١}. الخطوة الثالثة: عوض بالأرقام في الصيغة لتصبح م = rac{١ - ٠}{٥ - (-٢)}. الخطوة الرابعة: بسط العبارة في البسط والمقام. البسط يصبح ١، والمقام يصبح $٥ + ٢$ أي ٧. إذن الميل هو rac{١}{٧}.

أخطاء شائعة

خطأ تبديل ترتيب إحداثيات س أو ص عند التعويض في قانون الميل، كأن تبدأ في البسط بصورة نقطة وفي المقام بنقطة أخرى بالمخالفة للترتيب الصحيح. خطأ التعامل مع الإشارات السالبة عند طرح الأعداد السالبة في المقام، مثل نسيان أن طرح عدد سالب يوافق عملية الجمع.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد معدل التغير لجدول تبليط يوضح أن المساحة المبلطة بالسنتمتر المربع للمتغير ص تساوي ١٢٠٠ عندما يكون عدد البلاطات س يساوي ٣، وتصبح المساحة ٢٤٠٠ عندما يكون عدد البلاطات ٦. الإجابة: معدل التغير = rac{٢٤٠٠ - ١٢٠٠}{٦ - ٣} = rac{١٢٠٠}{٣} = ٤٠٠ سم٢ لكل بلاطة.

السؤال الثاني: أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين $( -٣، -١ )$ و$( ٢، ١ )$. الإجابة: باستخدام الصيغة م = rac{ص_٢ - ص_١}{س_٢ - س_١} نعوض بالأرقام لتصبح م = rac{١ - (-١)}{٢ - (-٣)} = rac{٢}{٥}.