٤-٢ حل المعادلات الخطية بيانيًا

يقوم حل المعادلات الخطية بيانيا على تحويل المعادلة إلى دالة مرتبطة بها، بحيث يكون أحد طرفي المعادلة مساويا للصفر. بعد ذلك، نمثل هذه الدالة بيانيا على المستوي الإحداثي، ونبحث عن النقطة التي يقطع فيها خط المستقيم محور السينات. القيمة السينية لهذه النقطة هي المقطع السيني، وهي نفسها حل المعادلة أو جذرها أو صفر الدالة. على سبيل المثال، لحل المعادلة $3س + 3 = 0$ نكتب الدالة المرتبطة $د(س) = 3س + 3$، وبتمثيلها بيانيا نلاحظ أن الخط المستقيم يقطع محور السينات عند النقطة س تساوي $-1$، وهو ما يمثل حل المعادلة.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة على ربط المعادلة الخطية بدالة خطية، بحيث يكون حل المعادلة هو القيمة التي تجعل المعادلة صحيحة، والتي تسمى أيضا جذر المعادلة أو صفر الدالة. بيانيا، هذا الحل يمثل المقطع السيني للتمثيل البياني للدالة المرتبطة.

الشرح

لحل أي معادلة خطية بيانيا، اجعل أحد طريفيها مساويا للصفر، ثم اكتب الدالة المرتبطة بها باستبدال الصفر بـ د(س). بعد ذلك، أنشئ جدول قيم أو استخدم المقطع والزاوية لتمثيل الدالة بيانيا على المستوي الإحداثي. انظر إلى نقطة تقاطع المستقيم مع محور السينات (المحور الأفقي). القيمة السينية عند هذه النقطة هي حل المعادلة. إذا لم يقطع المستقيم محور السينات أبدا، فلا يوجد حل للمعادلة.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة: $3س + 3 = 0$ الخطوة الأولى: اكتب الدالة المرتبطة بجعل الطرف الأيسر صرا وأضف د(س) للطرف الأيمن، فتصبح: $د(س) = 3س + 3$. الخطوة الثانية: كوّن جدول قيم باختيار قيم لـ س وحساب د(س). مثلا، إذا كانت س تساوي $-2$ فإن د(س) تساوي $-3$. وإذا كانت س تساوي $0$ فإن د(س) تساوي $3$. الخطوة الثالثة: ارسم النقاط على المستوى الإحداثي وصل بينها بخط مستقيم. الخطوة الرابعة: انظر إلى التمثيل البياني ولاحظ أين يقطع الخط المستقيم محور السينات. يقطع المستقيم محور السينات عند النقطة س تساوي $-1$. إذن، حل المعادلة هو س تساوي $-1$.

أخطاء شائعة

• نسيان جعل أحد طرفي المعادلة مساويا للصفر قبل كتابة الدالة المرتبطة.
• الخلط بين المقطع الصادي والمقطع السيني، والبحث عن الحل على محور الصادات بدلا من محور السينات.
• الاعتقاد بأن الخط المستقيم الذي يوازي محور السينات له حل، بينما هو إما ينطبق عليه كله أو لا يقطه أبدا فلا يوجد له حل.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة التالية بيانيا: $2س - 4 = 0$ الإجابة: الدالة المرتبطة هي $د(س) = 2س - 4$. بالتمثيل البياني يقطع المستقيم محور السينات عند س تساوي $2$. إذن الحل هو س تساوي $2$. السؤال الثاني: أوجد صفر الدالة المرتبطة بالمعادلة: $-2س + 6 = 0$ الإجابة: الدالة المرتبطة هي $د(س) = -2س + 6$. المقطع السيني يقع عند س تساوي $3$. إذن صفر الدالة هو $3$.