٣-٢ تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا

تقوم الفكرة على تمثيل المعادلات الخطية في المستوي الإحداثي برسم خط مستقيم. المعادلة الخطية تُكتب بالصورة القياسية $أ س + ب ص = جـ$ بحيث لا يكون المتغيران بأسس أو ضرب معاً. لتمثيلها بياناً، أسهل طريقة هي إيجاد المقطعين السيني والصادي بوضع ص تساوي صفراً مرة لإيجاد المقطع السيني، وس تساوي صفراً مرة لإيجاد المقطع الصادي، ثم تصل بخط مستقيم بين النقطتين الناتجتين، أو يمكنك إنشاء جدول باختيار قيم لـ س وحساب ص. مثال: لتمثيل المعادلة $٢ س + ٤ ص = ١٦$، ضع ص = صفر ليصبح المقطع السيني هو $٨$، ثم ضع س = صفر ليصبح المقطع الصادي هو $٤$، وصل بين النقطتين $(٨، ٠)$ و$(٠، ٤)$ لتنتهي بالخط المطلوب.

الفكرة الأساسية

تعلم كيف تحول المعادلة الخطية إلى رسم على المستوي الإحداثي بخط مستقيم. الفكرة تعتمد على أن أي خط مستقيم يحتاج إلى نقطتين فقط لكي نرسمه بدقة. المعادلة الخطية تكتب بالصورة القياسية $أ س + ب ص = جـ$، حيث يكون المتغيران س وص مرفوعين للقوة واحد وغير مضروبين ببعضهما.

الشرح

لكي ترسم معادلة خطية بيانيا، لديك طريقتان رئيسيتان. الطريقة الأولى هي استخدام المقطعين السيني والصادي. المقطع السيني هو النقطة التي يقطع فيها الخط المستقيم محور السينات، وتحدث عندما تكون ص تساوي صفرا. والمقطع الصادي هو النقطة التي يقطع فيها الخط محور الصادات، وتحدث عندما تكون س تساوي صفرا. بعد إيجاد هاتين النقطتين، تعينهما على المستوي الإحداثي وتصل بينهما بخط مستقيم. الطريقة الثانية هي تكوين جدول، حيث تختار قيما سهلة للمتغير س، وتعوض بها في المعادلة لتجد قيمة ص، ثم تمثل الأزواج المرتبة الناتجة على المستوي الإحداثي وتصل بينها.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل المعادلة $٢ س + ٤ ص = ١٦$ بيانيا باستعمال المقطعين السيني والصادي. الخطوة الأولى: لإيجاد المقطع السيني، ضع ص يساوي صفرا في المعادلة الأصلية: $٢ س + ٤(٠) = ١٦$ $٢ س = ١٦$ بالقسمة على $٢$: س = $٨$ إذن المقطع السيني هو النقطة $(٨، ٠)$. الخطوة الثانية: لإيجاد المقطع الصادي، ضع س يساوي صفرا في المعادلة الأصلية: $٢(٠) + ٤ ص = ١٦$ $٤ ص = ١٦$ بالقسمة على $٤$: ص = $٤$ إذن المقطع الصادي هو النقطة $(٠، ٤)$. الخطوة الثالثة: عين النقطتين $(٨، ٠)$ و$(٠، ٤)$ على المستوي الإحداثي، ثم صل بينهما بخط مستقيم لتكتمل التمفيلات البيانية.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول هو ضرب المتغيرين س وص ببعضهما في نفس الحد والاعتقاد بأن المعادلة خطية، مثل $س ص = ٤$، فهذه ليست خطية لأن فيها متغيرين مضروبين. الخطأ الثاني هو عدم وضع صفر في المكان الصحيح عند إيجاد المقاطع، كأن تعوض عن س بقيمة غير الصفر عند حساب المقطع السيني. الخطأ الثالث هو رسم الخط بحيث لا يمر بدقة عبر النقطتين المحسوبتين.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد المقطعين السيني والصادي للمستقيم الممثل للمعادلة ص = س - ٣. الإجابة: المقطع السيني هو $٣$ والنقطة هي $(٣، ٠)$، والمقطع الصادي هو $-٣$ والنقطة هي $(٠، -٣)$. السؤال الثاني: هل المعادلة $س^٢ + ص = ٢٥$ خطية؟ ولماذا؟ الإجابة: ليست خطية لأن المتغير س مرفوع للأس اثنين، والمعادلة الخطية يجب ألا يحتوي أي من متغيّريها على أسس أكبر من واحد.