٢-٢ الدوال
انظر إلى الرسم البياني في أعلى الصفحة: كلما زادت سرعة السيارة، زادت مسافة التوقف التي تقطعها حتى قف بشكل تام. الدالة هي علاقة تربط كل مدخلة بمخرجة واحدة فقط. انظر إلى المخطط السهمي المجاور؛ كل عنصر في المجال ارتبط بعنصر واحد فقط في المدى، لذا هذه دالة. أما في المثال ب، ارتبط العنصر ١ في المجال بالعنصرين ٤ و-٤ في المدى، وهذا يعني أن لدينا أكثر من قيمة لمخرجة واحدة لنفس المدخلة س تساوي ١، ولذلك هذه العلاقة ليست دالة. انظر الآن إلى سؤال تحقق من فهمك وركز على أزواج الأرقام، وتأكد هل كل مدخلة تخرج منها سهم واحد فقط أم لا.
تقوم فكرة الدوال على ربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط من المدى، بحيث يكون لكل مدخلة مخرجة واحدة مطابقة. نتعلم في هذا الدرس كيفية تحديد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا، وذلك باستخدام المخططات السهمية، أو الجداول، أو التمثيل البياني باختبار الخط الرأسى، أو المعادلات. كما نتعرف على إيجاد قيم الدالة عبر تعويض قيمة المدخلات في قاعدة الدالة مثل حساب عندما . وتصنف الدوال إلى متصلة ومنفصلة وغير خطية بحسب طبيعة تمثيلها البياني وقيم متغيراتها.
الفكرة الأساسية
ترتكز الدالة على ربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط من المدى، مما يعني وجود مخرجة واحدة لكل مدخلة.
الشرح
يمكن تمثيل الدالة بطرق متعددة مثل الجداول والمخططات السهمية والمعادلات والتمثيل البياني. لتحديد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة، نتحقق من عدم تكرار المدخلة المرتبطة بأكثر من مخرجة. بيانيا، نستخدم اختبار الخط الراسي، فإذا قطع الخط الراسي التمثيل البياني في نقطة واحدة فقط لكل قيمة ، فالرسم يمثل دالة. أما الدالة المنفصلة فتمثل بنقاط غير متصلة لأن القيم بينها غير مسموحة، بينما الدالة المتصلة تُمثل بخط أو منحنى دون انقطاع. وعند إيجاد قيم الدالة، نستبدل المتغير مثل بالعدد المطلوب ونحسب الناتج.
مثال محلول خطوة بخطوة
أوجد قيمة الدالة عندما . الخطوة الأولى: اكتب القاعدة مع التعويض عن بالعدد ٢ هكذا . الخطوة الثانية: أجر عملية الضرب للحصول على الناتج الجزئي وهو . الخطوة الثالثة: اجمع العددين ليصبح الناتج النهائي .
أخطاء شائعة
الاعتقاد بأن تكرار قيم المدى في العلاقة يلغي كونها دالة، والصحيح أن المحظور هو تكرار عنصر المجال بأكثر من مخرجة مختلفة. الخطأ الآخر هو توصيل نقاط التمثيل البياني في الدوال المنفصلة رغم أن البيانات لا تقبل القيم بينها.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: هل تشكل العلاقة الآتية دالة؟ تفسر ذلك: {(١, ٢), (٣, ٣), (١, ٥)}. الإجابة: ليست دالة، لأن العنصر ١ في المجال ارتبط بعنصرين هما ٢ و٥. السؤال الثاني: أوجد قيمة الدالة عندما . الإجابة: نعوض عن بخمسة فيكون أي ويساوي ٧.