١-٢ العلاقات
انظر إلى صورة الغواص في الأعلى، كلما تعمقت تحت الماء زاد الضغط عليك بسبب وزن الماء. هذه العلاقة يربط بينها قانون رياضي يجمع الضغط مع عمق الماء. لنتعلم اليوم كيف نعبر عن العلاقات بعدة طرائق. انظر إلى المستوى الإحداثي في وسط الصفحة، يتكون من محورين متقاطعين، المحور الأفقي وهو محور س، والمحور الرأسي وهو محور ص. تقاطعهم في النقطة (٠، ٠) يسمى نقطة الأصل. أي نقطة على هذا المستوى نكتبها على صورة زوج مرتب (س، ص)، فالعدد الأول يمثل إحداثي س والثاني يمثل إحداثي ص. تسمى مجموعة هذه الأزواج المرتبة علاقة، ويمكن تمثيلها بجدول أو تمثيل بياني أو مخطط سهدي. انظر إلى المخطط السهمي أسفل الصفحة، يوضح كيف ترتبط مجموعة تسمى المجال بمجموعة أخرى تسمى المدى، حيث تخرج الأسهم من عناصر المجال لتشير إلى عناصر المدى المرتبطة بها.
العلاقة هي ارتباط بين مجموعتين من القيم، ويمكن تمثيلها بأزواج مرتبة (س، ص)، أو جدول، أو تمثيل بياني، أو مخطط سهمي. تسمى مجموعة القيم الأولى المجال، ومجموعة القيم الثانية المدى. الإحداثي السيني يمثل البعد الأفقي، والإحداثي الصادي يمثل البعد الراسي في المستوى الإحداقي. في أي علاقة، المتغير المستقل هو الذي يحدد قيم مخرجات العلاقة، بينما المتغير التابع تعتمد قيمته على المتغير المستقل. مثال ذلك عدد الصور المباعة في مجمع تجاري، حيث عدد الصور هو المتغير المستقل، والدخل الناتج هو المتغير التابع لأنه يعتمد على عدد الصور المباعة.
الفكرة الأساسية
تقوم الفكرة على ربط عناصر مجموعة أولى تسمى المجال بعناصر مجموعة ثانية تسمى المدى، باستخدام أزواج مرتبة أو جداول أو مخططات سهمية أو تمثيلات بيانية على المستوى الإحداثي.
الشرح
العلاقة تربط بين كميتين، وتكتب عادة على صورة أزواج مرتبة (س، ص). القيمة الأولى س تمثل الإحداثي السيني والبعد الأفقي عن المحور الصادي، والقيمة الثانية ص تمثل الإحداثي الصادي والبعد الراسي عن المحور السيني. نقطة الأصل (٠، ٠) هي نقطة تقاطع المحورين. يمكنك تمثيل العلاقة بأربع طرائق: جدول، أو أزواج مرتبة، أو تمثيل بياني، أو مخطط سهمي. المجال هو مجموعة عناصر الإحداثي الأول (س)، والمدى هو مجموعة عناصر الإحداثي الثاني (ص). كما يوجد نوعان من المتغيرات في كل علاقة: المتغير المستقل الذي يحدد قيم المخرجات ولا يتأثر بغيره، والمتغير التابع الذي تعتمد قيمته على المتغير المستقل.
مثال محلول خطوة بخطوة
مثل العلاقة {(٢، ٥)، (-٢، ٣)، (٥، -٢)، (-١، -٢)} بجدول، وبيانياً، وبمخطط سهمي، ثم حدد المجال والمدى. ١. للجدول: اكتب الإحداثي السيني في العمود الأول والإحداثي الصادي في العمود الثاني مقابل له. ٢. للتمثيل البياني: ضع كل زوج مرتب كنقطة في المستوى الإحداثي. ٣. للمخطط السهمي: ضع قائمة بقيم س في المجال وقيم ص في المدى، وارسم أسهماً من قيم س إلى قيم ص التي تقابلها. ٤. المجال هو مجموعة قيم الإحداثي الأول: {-٢، -١، ٢، ٥}. ٥. المدى هو مجموعة قيم الإحداثي الثاني: {-٢، ٣، ٥}.
أخطاء شائعة
خلط العناصر بين المجال والمدى، أو كتابة عناصر المجال أو المدى مكررة عند تمثيلها في المخطط السهمي، حيث تكتب العناصر غير المكررة فقط داخل المجموعات.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: مثل العلاقة {(٤، -٣)، (٢، ٣)، (-٤، ١)، (٠، -٣)} بجدول. الإجابة: جدول يتكون من عمودين، الأول للقيم س (٤، ٢، -٤، ٠) والثاني لقيم ص (-٣، ٣، ١، -٣). السؤال الثاني: حدد المجال للعلاقة السابقة. الإجابة: المجال هو {-٤، ٠، ٢، ٤}.