التغير الطردي
انظر إلى التمثيل البياني في الأعلى، فهو يربط بين عدد الصفحات المطبوعة والزمن بالدقائق. لاحظ أن الخط مستقيم ويبدأ من نقطة الأصل. أجب عن الأسئلة الثلاثة بقسم استعد لمعرفة معدل التغير وهل يتناسب عدد الصفحات مع الزمن. في مثال الطبق الخيري، قسم المبلغ المجمع على عدد الأطباق في كل خطوة لتجد أن النسبة ثابتة وهي خمسة ونصف ريال لكل طبق، وهذا ما نسميه التغير الطردي وثابت التغير. في سؤال تحقق من فهمك، اقسم المسافة الرأسية على الزمن لتجد معدل نزول المظلي.
يقوم التغير الطردي على فكرة وجود علاقة بين كميتين تتغيران معاً بحيث تظل نسبة إحداهما إلى الأخرى ثابتة دائماً، وتسمى هذه النسبة الثابتة ثابت التغير أو الميل، ويُرمز له بالرمز ك، وتكتب معادلة التغير الطردي على الصورة ص = ك س أو ك = ص / س، حيث ك لا تساوي صفراً. فمثلاً لو طبعنا ١,٥ صفحة لكل دقيقة، فإن عدد الصفحات يتغير طردياً مع الزمن، وتكون النسبة الثابتة بين عدد الصفحات والزمن هي ١,٥، ومعادلة التغير الطردي هي ص = ١,٥ س، بحيث لو أردنا معرفة عدد الصفحات في ٦ دقائق سنضرب ١,٥ في ٦ لنحصل على ٩ صفحات.
الفكرة الأساسية
يقوم التغير الطردي على فكرة ربط كميتين تتغيران معاً بحيث تبقى نسبة إحداهما إلى الأخرى ثابتة دائماً، ويُسمى هذا الثابت بـ ثابت التغير أو الميل.
الشرح
عندما تتغير كميتان بحيث تكون النسبة بينهما ثابتة، نقول إن العلاقة بينهما تغير طردي. نرمز لثابت التغير بالحرف ك، وتكتب معادلة التغير الطردي على صورة ص = ك س، أو بالشكل ك = ص / س، بشرط ألا يساوي الثابت ك صفراً. لاحظ أن تمثيل التغير الطردي بيانيّاً يكون دائماً عبارة عن خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. لمعرفة ما إذا كانت دالة خطية تمثل تغيراً طردياً أم لا، نقوم بقسمة قيم ص على قيم س المقابلة لها، فإذا تساوت جميع النسب، كان التغير طردياً وثابت التغير هو قيمة تلك النسبة.
مثال محلول خطوة بخطوة
افترض أن عمر الحصان يتغير طردياً مع ما يكافئه من عمر الإنسان. فما عمر الإنسان الذي يكافئي ٦ سنوات من عمر حصان؟ إذا علمت أن عمر الحصان يكافئ ٣ سنوات من عمر الإنسان. الخطوة الأولى: اكتب معادلة التغير الطردي بصيغتها العامة ص = ك س. الخطوة الثانية: أوجد قيمة ثابت التغير ك بتعويض القيم المعطاة، حيث ص = ٣ عندما س = ١ (عمر الحصان س، وعمر الإنسان ص). إذن ٣ = ك (١)، ومنه ك = ٣. الخطوة الثالثة: اكتب المعادلة بعد تعويض قيمة ك لتصبح ص = ٣ س. الخطوة الرابعة: استعمل المعادلة لإيجاد المطلوب عندما س = ٦؛ عوض عن س بـ ٦، فتصبح ص = ٣ (٦). الخطوة الخامسة: بسط الناتج، إذن ص = ١٨. إذن ٦ سنوات من عمر حصان تكافئ ١٨ سنة من عمر إنسان.
أخطاء شائعة
الاعتقاد بأن أي دالة خطية تمثل بالضرورة تغيراً طردياً، والصحيح أن الدالة الخطية لا تمثل تغيراً طردياً إلا إذا مر تمثيلها البياني بنقطة الأصل وتساوت جميع نسب ص إلى س. قسمة س على ص بدلاً من ص على س عند البحث عن ثبات النسبة.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: إذا كانت ص تتغير طردياً مع س، وكانت ص = -١٢ عندما س = ٩، فأوجد قيمة ص عندما س = -٤. الإجابة: ك = ص / س = -١٢ / ٩ = -٤ / ٣. ثم نعوض في المعادلة ص = (-٤ / ٣) × (-٤) لتصبح ص = ١٦ / ٣. السؤال الثاني: حدد ما إذا كان الجدول الذي يمثل (الساعات س: ٢، ٣، ٤، ٥) و(الكيلومترات ص: ١١٦، ١٧٤، ٢٣٢، ٢٩٠) يمثل تغيراً طردياً أم لا، واذكر ثابت التغير. الإجابة: نقسم ص على س لكل قيمة: ١١٦ / ٢ = ٥٨، ١٧٤ / ٣ = ٥٨، ٢٣٢ / ٤ = ٥٨، ٢٩٠ / ٥ = ٥٨. بما أن النسب متساوية وثابتة، فالجدول يمثل تغيراً طردياً، وثابت التغير يساوي ٥٨.