المتتابعات
انظر إلى النمط الذي يبدأ بـ مثلث واحد وعيدان، ثم مثلثين و5 عيدان، وهكذا. انظر كيف يزداد عدد العيدان بانتظام، وهذا ما نسميه متتابعة حسابية؛ لأن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتاً ويسمى أساس المتتابعة. في المثال المحلول، اطرح كل حد من الذي يليه لتعرف إن كان الفرق ثابتاً لتجد أساس المتتابعة وتكمل الحدود الثلاثة التالية بنفس الطريقة. طبق ذلك في فقرة تحقق من فهمك بتفحص كل متتابعة وإيجاد أساسها إن وجد.
المتتابعة هي مجموعة مرتبة من الأعداد، وكل عدد فيها يسمى حدّاً. المتتابعة الحسابية هي التي يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتاً، ويسمى أساس المتتابعة. لإيجاد العدد التالي في المتتابعة الحسابية، أضف أساس المتتابعة إلى الحد الأخير. مثال: في المتتابعة ٣، ٥، ٧، ٩، …، الفرق الثابت هو ٢، لذا لإيجاد الحد التالي بعد ٩ نجمع ٢ فيكون الناتج ١١. كما يمكن التعبير عنها باستخدام الحد النوني الذي يربط بين رقم الحد وقيمته عبر عبارة جبرية مثل .
الفكرة الأساسية
المتتابعة هي مجموعة مرتبة من الأعداد، وكل عدد فيها يسمى حدّاً. والمتتابعة الحسابية تتميز بأن الفرق بين أي حدين متتاليين فيها يكون ثابتاً ويسمى أساس المتتابعة. الهدف هو التعرف على هذه المتتابعات وإيجاد أساسها وكتابة عبارة جبرية لتمثيل الحد النوني لتحديد أي حد.
الشرح
انظر إلى الأعداد المرتبة بجوار بعضها؛ عندما تنتقل من عدد إلى آخر بزيادة أو نقصان بمقدار ثابت، فهذه تسمى متتابعة حسابية. يسمى هذا المقدار الثابت أساس المتتابعة. لإيجاد العدد التالي في المتتابعة الحسابية، أضف أساس المتتابعة إلى الحد الأخير. وإذا أردت إيجاد قيمة أي حد بعيد دون كتابة جميع الحدود التي قبله، تستخدم الحد النوني الذي يربط بين رقم الحد في المتتابعة وقيمته عبر عبارة جبرية.
مثال محلول خطوة بخطوة
بين ما إذا كانت المتتابعة ١٧، ١٢، ٧، ٢، -٣، … حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية. الخطوة الأولى: أوجد الفرق بين الحدود المتتالية بطرح كل حد من الحد الذي يليه: ١٢ - ١٧ = -٥ ٧ - ١٢ = -٥ ٢ - ٧ = -٥ -٣ - ٢ = -٥ الخطوة الثانية: بما أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت ويساوي -٥، فالمنتابعة حسابية أساسها -٥. الخطوة الثالثة: لإيجاد الحدود الثلاثة التالية، أضف الأساس -٥ إلى الحد الأخير -٣: -٣ + (-٥) = -٨ -٨ + (-٥) = -١٣ -١٣ + (-٥) = -١٨ إذن الحدود الثلاثة التالية هي: -٨، -١٣، -١٨.
أخطاء شائعة
الخطأ الشائع هو طرح الحد السابق من الحد اللاحق بعكس الاتجاه الصحيح مما يغير إشارة الأساس، أو اعتبار أي متتابعة ذات نمط غير خطي متتابعة حسابية دون التأكد من ثبات الفرق بين الحدود المتتالية.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: بين ما إذا كانت المتتابعة ٢، ٦، ١٠، ١٤، ١٨، … حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك فأوجد أساسها. الإجابة: حسابية، وأساسها ٤. السؤال الثاني: أوجد الحدود الثلاثة التالية للمتتابعة الحسابية: -٥، -١٠، -١٥، -٢٠، … الإجابة: -٢٥، -٣٠، -٣٥.