مساحة سطح المنشور والأسطوانة

يقوم الدرس على إيجاد مساحة سطح المنشور والأسطوانة بقسمين رئيسيين: المساحة الجانبية وهي مجموع مساحات الأوجه أو الغطاء الخارجي دون القواعد، والمساحة الكلية التي تضاف إليها مساحة القاعدتين. للمنشور، تحسب المساحة الجانبية بضرب محيط القاعدة في الارتفاع ($ج = مح ع$)، وللأسطوانة بضرب محيط القاعدة في الارتفاع ($ج = مَح ع$ أو $ج = ۲ ط نَق ع$). أما المساحة الكلية فتساوي المساحة الجانبية مضافاً إليها ضعف مساحة القاعدة ($ك = ج + ۲ م$). فمثلاً إذا كان محيط قاعدة منشور يساوي $٢٠$ سم وارتفاعه $١٢$ سم، تصبح مساحته الجانبية $٢٤٠$ سم مربعا.

الفكرة الأساسية

حساب مساحة سطح المجسمات يعني معرفة مساحة كل ما يحيط بها من الخارج، وتنقسم إلى المساحة الجانبية التي تغطي جوانب المجسم فقط، والمساحة الكلية التي تشمل الجوانب مع مساحة القاعدتين.

الشرح

تخيل صندوقاً بلا غطاء، إذا قصصت أحرفه وفتحته على سطح مستو فستحصل على مخطط للمنشور. الوجه الجانبي هو أي سطح مستو ليس القاعدة، والمساحة الجانبية هي مجموع مساحات هذه الأوجه. لحساب المساحة الجانبية لأي منشور، اضرب محيط القاعدة في الارتفاع ونكتبها بالرموز: $ج = مح ع$. أما المساحة الكلية للمنشور فتساوي المساحة الجانبية مضافاً إليها مساحتا القاعدتين المطابقتان، ونكتبها بالرموز: $ك = ج + ۲ م$ أو $ك = مح ع + ۲ م$. وبالنسبة للأسطوانة، فهي تشبه المنشور في القواعد العامة، وعند قص الأسطوانة يتكون مخططها من مستطيل ودائرتين متطابقتين. المساحة الجانبية للأسطوانة تساوي محيط القاعدة مضروباً في الارتفاع، ونظراً لأن قاعدة الأسطوانة دائرة فإن محيطها هو $٢ ط نَق$، فتصبح القاعدة: $ج = ۲ ط نَق ع$. ولإيجاد المساحة الكلية للأسطوانة نجمع المساحة الجانبية مع مساحة القاعدتين الدائريتين، ونكتبها بالرموز: $ك = ج + ۲ ط نَق^٢$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح منشور رباعي قاعدتاه مستطيلان، أبعاد كل منهما $٣$ م و$٧$ م، وارتفاعه $١٢$ م. الخطوة الأولى: أوجد محيط القاعدة. بما أن القاعدة مستطيل، فمحيطها يساوي ضعف الطول زائد ضعف العرض، إذن: $مح = ۲(٧) + ۲(٣) = ٢٠$ متراً. الخطوة الثانية: أوجد مساحة القاعدة. مساحة المستطيل تساوي الطول ضرب العرض، إذن: $م = ٧ imes ٣ = ٢١$ متراً مربعاً. الخطوة الثالثة: احسب المساحة الجانبية بضرب محيط القاعدة في الارتفاع: $ج = مح ع$ إذن $ج = ١٢ imes ٢٠ = ٢٤٠$ متراً مربعاً. الخطوة الرابعة: احسب المساحة الكلية بجمع المساحة الجانبية إلى ضعف مساحة القاعدة: $ك = ج + ۲ م$ إذن $ك = ٢٤٠ + ۲ imes ٢١ = ٢٨٢$ متراً مربعاً.

أخطاء شائعة

• الخلط بين المساحة الجانبية والمساحة الكلية بإضافة مساحة القاعدتين في المساحة الجانبية بالخطأ.
• نسيان ضرب مساحة القاعدة في اثنين عند حساب المساحة الكلية للمنشور أو الأسطوانة.
• استخدام نصف القطر بدلاً من القطر أو العكس عند حساب محيط الدائرة أو مساحتها في الأسطوانة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح أسطوانة نصف قطر قاعدتها $٢$ م وارتفاعها $٣$ م. الإجابة: المساحة الجانبية تساوي تقريباً $٣٧,٧$ متراً مربعاً، والمساحة الكلية تساوي تقريباً $٦٢,٨$ متراً مربعاً. السؤال الثاني: أوجد المساحة الجانبية لمنشور رباعي محيط قاعدته $١٥$ سم وارتفاعه $٤$ سم. الإجابة: المساحة الجانبية تساوي $٦٠$ سم مربعا.