حجم الهرم والمخروط

يقوم هذا الدرس على إيجاد حجم الهرم والمخروط، والفكرة الأساسية تعتمد على أن حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور المساوِي له في مساحة القاعدة والارتفاع، وكذلك حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة المساوية له. القاعدة العامة لحجم الهرم هي ح = $\frac{1}{3}$ م ع، حيث م هي مساحة القاعدة وع هو الارتفاع، بينما لحجم المخروط هي ح = $\frac{1}{3}$ ط نق $^{2}$ ع أو ح = $\frac{1}{3}$ م ع. فمثلاً، لو كان لدينا هرم ارتفاعه ١١ م وقاعدته مربعة طول ضلعها ٦,٤ م، نحسب مساحة القاعدة بضرب ٦,٤ × ٦,٤، ثم نطبق القانون لنحصل على الحجم تقريباً وهو ٩٥ م $^{3}$.

الفكرة الأساسية

حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور الذي له مساحة القاعدة والارتفاع نفسهما. وبالمثل، فإن حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة التي لها مساحة القاعدة والارتفاع نفسهما. الفكرة هنا أنك إذا ملأت الهرم بالرمل وفرغته في منشور له نفس القاعدة والارتفاع، فإنك تحتاج إلى ثلاث مرات لملء المنشور تماماً.

الشرح

لحساب حجم الهرم، نستخدم القاعدة اللفظية: حجم الهرم يساوي ثلث ناتج ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع. وبالرموز: ح = $\frac{1}{3}$ م ع، حيث ح يمثل الحجم، وم مساحة القاعدة، وع الارتفاع العمودي بين الرأس والقاعدة. أما ارتفاع الهرم أو المخروط فهو البعد العمودي بين الرأس والقاعدة. ولحساب حجم المخروط، والمخروط هو شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية وسطح منحني يوصل القاعدة بالرأس، نستخدم القاعدة اللفظية: حجم المخروط الذي نصف قطر قاعدته نق يساوي ثلث ناتج ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع. وبالرموز: ح = $\frac{1}{3}$ م ع أو ح = $\frac{1}{3}$ ط نق $^{2}$ ع.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد حجم الهرم المجاور الذي ارتفاعه ١١ م وقاعدته مربعة طول ضلعها ٦,٤ م، مقرباً الجواب إلى أقرب جزء من عشرة. الخطوة الأولى: نكتب قانون حجم الهرم: ح = $\frac{1}{3}$ م ع. الخطوة الثانية: نحسب مساحة القاعدة المربعة: م = ٦,٤ × ٦,٤ = ٤٠,٩٦. الخطوة الثالثة: نعوض بالقيم في القانون: ح = $\frac{1}{3}$ × ٤٠,٩٦ × ١١. الخطوة الرابعة: نبسط ونحسب الناتج: ح = ٩٥,٠٤. الخطوة الخامسة: نقرب إلى أقرب جزء من عشرة، فيكون الحجم ٩٥ م $^{3}$ تقريبا.

أخطاء شائعة

• نسيان ضرب الناتج في الثلث (\frac{1}{3}) وحساب حجم الهرم كأنه منشور أو أسطوانة كاملة.
• الخلط بين طول الضلع المائل وارتفاع الهرم (ع)، حيث يجب دائماً استخدام الارتفاع العمودي.
• استخدام القطر كاملاً في قانون المخروط بدلاً من نصف القطر (نق).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد حجم هرم ارتفاعه ٥ م، وقاعدته مربعة طول ضلعه ٢ م. الإجابة: ٦,٧ م $^{3}$ تقريباً. السؤال الثاني: أوجد حجم مخروط نصف قطر قاعدته ٣ م وارتفاعه ١٤ م. الإجابة: ١٣١,٩ ملم $^{3}$ تقريباً (أو حسب الوحدات المطبوعة).